Lý thuyết về bài xích tích phân môn toán lớp 12, nay họ sẽ cùng nhau tìm hiểu về khái niệm, tính chất và các phương thức của tích phân.

Bạn đang xem: Tích phân là gì toán 12


1. Tích phân là gì?

1.1. Diện tích s hình thang cong

Cho hàm số liên tục, không đổi lốt trên đoạn Hình phẳng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số , trục hoành và hai tuyến phố thẳng được gọi là hình thang cong. (SGK, trang 102)

*

Bây tiếng ta xét hình phẳng D được số lượng giới hạn bởi 1 đường cong kín bất kì. Bằng phương pháp kẻ những đường thẳng tuy nhiên song với các trục toạ độ, ta chia D thành phần nhiều hình nhỏ dại là đầy đủ hình thang cong. Vậy chỉ việc ta biết phương pháp tính diện tích của hình thang cong thì ta rất có thể tính được diện tích của một hình phẳng D bất kì.

*

Người ta chứng minh được diện tích S của hình thang cong được giới hạn bởi vật thị hàm số liên tục, không âm trên đoạn , trục hoành và hai đường thẳng được tính bởi công thức: , trong số đó là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn .

1.2. Định nghĩa tích phân

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một trong nguyên hàm của hàm số bên trên đoạn .

Hiệu số được gọi là tích phân trường đoản cú a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn ) của hàm số , kí hiệu là:

Ta còn cần sử dụng kí hiệu để chỉ hiệu số .

Vậy ta có:

Ví dụ 1: Tính

Giải:

Ta có:

Nhận xét:

Tích phân của hàm số

trên đoạn không dựa vào tường minh vào thay đổi số tích phân mà lại chỉ dựa vào vào dạng hàm và các cận tức là ta có thể ghi: Ý nghĩa hình học tập của tích phân: Nếu hàm số liên tục, không âm trên đoạn , thì tích phân chính là diện tích của hình thang cong được số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai tuyến phố thẳng .

2. đặc điểm tích phân

Cho các hàm số f (x) với g(x) tiếp tục trên đoạn , ta có:

2.1. đặc thù 1

là hằng số thực bất kì.

2.2. đặc điểm 2

2.3. đặc điểm 3

3. Cách tính tích phân

3.1. Phương thức đổi trở thành số

Tương tự phương pháp đổi thay đổi số trong câu hỏi tính nguyên hàm, ta bao gồm định lí sau đây.

Định lí:

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử hàm số bao gồm đạo hàm thường xuyên trên đoạn làm thế nào cho cùng với đa số

Khi đó:

Chú ý:

Trong nhiều trường đúng theo ta còn sử dụng phép đổi biến chuyển số sinh sống dạng sau (khi hàm số rất có thể viết được sinh sống dạng: ).

Cụ thể là:

trong đó, là hàm số bao gồm đạo hàm tiếp tục trên đoạn với là hàm số liên tục trên đoạn

Ví dụ 2: Tính

Giải:

Đặt

3.2. Cách thức tích phân từng phần

Tương tự cách thức tính nguyên hàm từng phần, ta bao gồm định lí sau đây.

Tích phân là 1 trong khái niệm toán học quan trọng đặc biệt cùng cùng với phép tính nghịch đảo của nó là vi phân tất cả vai trò đặc trưng trong chương trình toán học 12. Chúng ta cũng có thể hiểu đơn giản dễ dàng tính hóa học của tích phân là diện tích hay diện tích s tổng quát lác hóa. Bài viết sau đây, Verba
Learn sẽ cùng bạn đi tìm hiểu các công thức tích phân và một số trong những loại bài bác tập tích phân thường gặp gỡ nhất.


*
Tổng hợp có mang và đặc điểm của tích phân

Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên đoạn .

Hiệu số F(b) – F(a) được điện thoại tư vấn là tích phân trường đoản cú a đến b (hay tích phân khẳng định trên đoạn của hàm số f(x), kí hiệu

Ta còn sử dụng kí hiệu

*
nhằm chỉ hiệu F(b) – F(a).

Vậy

*

Ta call

*
là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức vết tích phân cùng f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: vào trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước

*

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a cho b có thể kí hiệu vày hoặc

*
hoặc
*
. Tích phân chỉ nhờ vào vào hàm số f và những cận a, b nhưng không phụ thuộc vào vào biến đổi số x tốt t.

Ý nghĩa hình học tập của tích phân: ví như hàm số f(x) liên tiếp và ko âm trên đoạn , thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai tuyến phố thẳng x = a, x = b. Vậy S =


Tính hóa học của tích phân

Tính chất 1:

*
(k: const)

Tính chất 2:

*

Tính hóa học 3:

*
(a

1. Phương thức đổi biến số

Định lý 1 (Đổi trở thành loại 1): cho hàm số f(x) tiếp tục trên đoạn . Giả sử hàm số x = φ (t) bao gồm đạo hàm liên tiếp trên đoạn <⍺, β> làm sao để cho φ (⍺) = a, φ (β) = b cùng a ≤ φ (t) ≤ b với đa số t ∊ <⍺, β>. Khi đó:

*

Định lý 2: (Đổi biến hóa loại 2): mang lại hàm số f(x) liên tục trên đoạn . Mang sử hàm số u(x) tất cả đạo hàm liên tiếp và u(x) ∊ <⍺, β>. đưa sử ta có thể viết f(x) = g(u(x)). U’(x), x ∊ cùng với g(x) liên tục trên đoạn <⍺, β>. Khi ấy ta có:

*

2. Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u = u(x) với v = v(x) là nhị hàm số tất cả đạo hàm liên tục trên đoạn thì

*

Phân loại bài bác tập

Dạng 1. Tích phân hữu tỉ

phương thức giải

Một số dạng cần nhớ

1)

*

2)

*

3)

*

4)

*
thì để
*

Dạng tổng quát

*

Trường phù hợp 1: ví như bậc của nhiều thức P(x) ≥ m + n + 1 ta phân chia tử cho mẫu để lấy về trường hợp 2

Trường hòa hợp 2: nếu bậc của đa thức P(x) i, Bk, M, N

Bước 3: thực hiện các dạng cơ bản.

Chú ý:

+ Đôi lúc ta dùng phương pháp giải thêm – giảm – tách bóc sẽ gọn ghẽ hơn.

+ một số trường thích hợp ta đổi trở nên số nhầm giảm sút bậc để lấy tích hàm hữu tỉ đơn giản và dễ dàng hơn.

Bài tập vận dụng

Câu 1. cho

*
. Tìm a.

A.

*

B. 2

C. 5

D.

*

Hướng dẫn giải

Ta có:

*

⟹ Chọn D

Câu 2. đến

*
, (a, b ∊ ℤ). Quý hiếm của 3a + 2b là

A. 0

B. 1

C. 8

D. 10

Hướng dẫn giải

Khi thấy những bài xích tích phân tất cả dạng

*
thì ta sẽ thay đổi đổi

*

*
⇒ ta sẽ tìm được A và B.

Khi đó:

*

Áp dụng vào bài, ta có:

*

*

⟹ Chọn A

Câu 3. Tìm tất cả các số thức m dương thỏa mãn

*
.

A. M = 3

B. M = 2

C. M = 1

D. M > 3

Hướng dẫn giải

Ta có:

*

Suy ra:

*

Ta thấy chỉ có m = 1 thỏa mãn (*).

⟹ Chọn C

Dạng 2. Tích phân có chứa căn thức

cách thức giải

Lớp bài toán 1:

*
thỏa (p + 1) ⋮ k, lúc ấy ta đặt
*

Lớp vấn đề 2: Đổi biến dị lượng giác

Ta chú ý các thừa nhận biết một trong những dấu hiệu và phương pháp đổi biến tương ứng sau

*

Lớp việc 3:

*

Hướng 1: theo dạng 2

Hướng 2: Hữu tỉ hóa. Sử dụng những phép biển cả đổi Euler

Với a > 0, đặt

*

Với c > 0, đặt

*

Nếu ax2 + bx + c gồm hai nghiệm x1, x2 thì để

*
hoặc đặt
*

Chú ý:

*
ta chuyển đổi về dạng
*

*
quanh đó cách giải chung bởi phép nuốm lượng giác ta còn có thể giải bởi phép rứa đại số. Đặt
*
hoặc
*
hoặc t = mx + n hoặc
*

Với dạng

*
ta thường đội biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức rồi đem đến dạng:
*
hoặc
*

Bài tập vận dụng

Câu 1. trong số tích phân sau, tích phân nào ko cùng cực hiếm với

*

A.

*

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

Đặt

*

Đổi cận x = 1 thì t = 1; x = 2 thì t = 4.

*

⟹ Chọn A

Câu 2. Tính tích phân

*
ta được
*
là phân số buổi tối giản. Quý hiếm bằng

A.

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

Đặt

*

Đổi biến: u (0) = 1; u (3) = 2

Khi kia ta có:

*

Do đó: a = 116, b = 15. Suy ra: =

⟹ Chọn A

Câu 3. hiệu quả của tích phân

*
là phân số buổi tối giản. Giá trị p = a2 + b2 bằng

A. 2786

B. 2785

C. 2685

D. 2885

Hướng dẫn giải

Đặt

*

Với x = 0 ⇒ t = 1; x = 0 ⇒ t = 3

Vậy

*

Suy ra: a = 52, b = 9. Bởi vì đó: S = 2785.

⟹ Chọn B

Câu 4. Tính tích phân:

*
được hiệu quả I = a ln3 + b ln5, (a, b ∊ ℤ). Tổng a + b là

A. 2

B. 3

C. –1

D. 1

Hướng dẫn giải

Đặt

*

Đổi cận: x = 1 ⟶ u = 2; x = 5 ⟶ u = 4

Vậy

*

Do kia a = 2; b = –1. Suy ra: a + b = 1.

⟹ Chọn D

Dạng 3. Tích phân lượng giác

cách thức giải

Nguyên hàm cơ bản cần nhớ với tất cả số thức k ≠ 0

*

Mốt số lớp câu hỏi thường gặp

Lớp việc 1: Đưa về một hàm con số giác

I = ∫f (sinx) cosxdx = ∫f (t)dt

I = ∫f (cosx) sinxdx = –∫f (t)dt

*

Lớp vấn đề 2: sử dụng công thức chuyển đổi tích thành tổng

∫sinax.sinbx dx

∫cosax.cosbx dx

∫sinax.cosbx dx

Cách giải: cần sử dụng công thức thay đổi tích thành tổng:

*

Lớp việc 3: ∫sinn xdx; ∫cosn xdx (n ∊ ℕ; n ≥ 2)

Cách giải:

Nếu n chẵn thì dùng cách làm hạ bậc nhằm hạ đến khi kết thúc bậc:

*

Nếu n lẻ thì bóc ra rước một vượt số cùng sử dụng các công thức:

cosxdx = d (sinx); sinxdx = –d (cosx)

Lớp việc 4:
*

Cách giải:

Đặt

*

Lớp câu hỏi 5:

*

Cách giải

Biến đổi: Tử = A (mẫu) + B (đạo hàm mẫu) + C rồi mang đến dạng 4 nếu như C ≠ 0.

Chú ý: Trên trên đây chỉ là 1 vài trường thích hợp thường gặp. Trong thực tiễn có thẻ chạm mặt nhiều dạng không giống nữa, đòi hỏi phải hoạt bát vận dụng những kiến thức về lượng giác cùng các phương thức giải tính nguyên hàm tích phân.

Bài tập vận dụng

Câu 1. cho tích phân

*
. Quý giá a3 + b3 +1.

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Hướng dẫn giải

*

⟹ Chọn C

Câu 2. cho tích phân

*
. Quý hiếm
*
bằng

A. 11

B.

*

C. 4

D. 7

Hướng dẫn giải

*

⟹ Chọn B

Câu 3. mang lại tích phân

*
. Quý giá A = 4a + 8b bằng

A. 0

B. 2

C. 1

D. –1

Hướng dẫn giải

*

⟹ Chọn B

Câu 4. cho tích phân

*
. Quý hiếm sin6 a + cos6 a bằng

A.

*

B.

*

C. 1

D.

*

Hướng dẫn giải

*

⟹ Chọn A

Câu 5. mang lại tích phân

*
. Giá trị A = 6a + 15b bằng

A. 11

B. 4

C. 7

D. 3

Hướng dẫn giải

Ta có:

*

Trong đó:

*

Xét

*

Đặt t = sin x, suy ra

*
. Lúc đó:

*

Vậy

*

⟹ Chọn A

Dạng 4. Tích phân từng phần

phương pháp giải

Cho u = u(x), v = v(x) là những hàm số thường xuyên trên đoạn và gồm đạo hàm trên khoảng (a; b) ta có:

∫udv = uv – ∫vdu

*

Chú ý: mang đến dãy “ưu tiên” các loại hàm như sau ‘logarit → đa thức → mũ, lượng giác’ với P(x), Q(x) là 2 trong những loại hàm số đó. Khi nên tính ∫P(x).Q(x) dx ta lựa chọn từng phần theo chế độ sau

Chọn u = Hàm được ưu tiên hơn

dv = phần còn lại

Ví dụ ∫ (2x + 1) ln (x – 1) dx ta lựa chọn

*

Bài tập vận dụng

Câu 1. công dụng phân tích

*
, (b ∊ ℤ). Quý hiếm 3 + b là

A. 3

B. 4

C. 5

D. 7

Hướng dẫn giải

*

Tính

*

Tính

*

Xem:

*

Dùng phương pháp tích phân từng phần

*

Vậy:

*

⟹ Chọn C

Câu 2. biết rằng tích phân

*
, (a, b ∊ ℤ+). Quý giá ab bằng

A. 1

B. –1

C. –15

D. 20

Hướng dẫn giải

Đặt u = (2x + 1) ⇒ du = 2dx

dv = ex dx ⇒ v = ex

*

⟹ Chọn A

Câu 3. kiếm tìm số thực m > 1 thỏa mãn nhu cầu

*

A. M = 2e

B. M = e

C. M = e2

D. M = e + 1

Hướng dẫn giải

*

Đặt

*

*

⟹ Chọn B

Câu 4. mang sử F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số

*
trên khoảng tầm (0; +∞) và
*
. Khẳng định nào sau đó là khẳng định đúng?

A. I = F (6) – F (1)

B. I = F (6) – F (3)

C. I = F (9) – F (3)

D. I = F (4) – F (2)

Hướng dẫn giải

Xét

*

Đặt t = 3x ⇒ dt = 3dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 3, x = 3 ⇒ t = 9.

Suy ra:

*

⟹ Chọn C

Câu 5. Đặt

*
, k nguyên dương. Ta gồm Ik 2 x + 1) dx, lựa chọn v = tanx.

Vậy

*

*

Do đó:

*

*

⟹ Chọn C

Dạng 5. Tích phân đựng dấu cực hiếm tuyệt đối

cách thức giải

Bài toán: Tính tích phân

*

(với g(x) là biểu thức cất ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối)

Phương pháp chng

Xét lốt của biểu thức trong lốt giá trị tuyệt vời trên Dựa vào vết để bóc tách tích phân trên từng đoạn khớp ứng (sử dụng đặc điểm 3 nhằm tách)

Tính mỗi tích chia thành phần.

Đặc biệt: Tính tích phân

*

Cách giải

Cách 1:

Cho f(x) = 0 search nghiệm trên Xét lốt của f(x) bên trên , nhờ vào dấu của f(x) để tách tích phân trên mỗi đoạn tương xứng (sử dụng đặc thù 3 nhằm tách)

Tính từng tích phân thành phần.

Cách 2:

Cho f(x) = 0 search nghiệm trên trả sử các nghiệm sẽ là x1; x2; … xn

(với x1 2 n).

Xem thêm: Ussh Nghiên Cứu Khoa Học - Trường Đại Học Khoa Học Xã Hội Và Nhân Văn

Khi đó:

*

*

Tính mỗi tích phân thành phần

Bài tập vận dụng

Câu 1.

*
là phân số buổi tối giản. Quý giá a + b bằng

A. 11

B. 25

C. 100

D. 50

Hướng dẫn giải

*

⟹ Chọn A

Câu 2.

*
, (a ∊ ℕ*). Hỏi a3 là bao nhiêu?

A. 27

B. 64

C. 125

D. 8

Hướng dẫn giải

Ta có:

*

Với

*

Với

*
thì
*

Với

*
thì
*

*

⟹ Chọn D

Câu 3. Biết

*
, cùng với a, b là những số nguyên. Cực hiếm S = a – b bằng

A. 9

B. 11

C. 5

D. –3

Hướng dẫn giải

Ta có:

*

*

⟹ Chọn B

Câu 4. cho tích phân

*
cùng
*
. Giá trị của a với b lần lượt là

A.

*

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

*

⟹ Chọn D

Câu 5. Tính tích phân

*
, a > 0 ta được công dụng I = f(a). Khi đó tổng
*
có giá trị bằng:

A.

*

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

TH1: giả dụ a ≥ 1 khi ấy

*

TH2: giả dụ 0 bài xích tập vận dụng

Câu 1. Xét tích phân

*
. Sử dụng phương thức giải đổi trở nên số cùng với u = x2, tích phân I được chuyển đổi thành dạng làm sao sau đây:

A.

*

B.

*

C.

D.

*

Hướng dẫn giải

Ta có:

*

Đặt

*

Với x = 1 ⇒ u = 1 và

*

Khi kia

⟹ Chọn C

Câu 2. biết rằng

*
, (a, b, c ∊ ℤ). Giá trị của S = a + b + c bằng

A. 3

B. 2

C. 0

D. 4

Hướng dẫn giải

Đặt

*

Do đó a = 1; b = –1; c = 0 ⇒ S = 0.

⟹ Chọn C

Câu 3. mang lại tích phân

*
, (a, b ∊ ℕ*). Cực hiếm S = cos <(a + b) π> + sin <(a – b) π> bằng

A. 0

B. –1

C. 1

D. –4

Hướng dẫn giải

*

Đặt

*
thì t = 2; x = 38 thì t = 3.

*

S = cos <(a + b) π> + sin <(a – b) π> = –1.

⟹ Chọn B

Câu 4. đến là một trong nguyên hàm của hàm số . Tính bằng:

A.

*

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

Do là một nguyên hàm của hàm số bắt buộc

*

Tính . Đặt

*

Khi đó:

*

⟹ Chọn A

Câu 5. mang lại hàm số y = f(x) với f (0) = f (1) = 1. Biết rằng:

*
. Tính Q = a2017 + b2017.

A. Q = 22017 + 1

B. Q = 2

C. Q = 0

D. Q = 22017 – 1

Hướng dẫn giải

Đặt

*

*

Do đó a = 1, b = –1.

Suy ra Q = a2017 + b2017 = 12017 + (–1)2017 = 0.

Vậy Q = 0.

⟹ Chọn C

Câu 6. Tính tích phân

A. I = 0

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

Tính tích phân

Đặt x = –t ⇒ dx = –dt. Khi x = –2 thì t = 2; khi x = 2 thì t = –2.

Ta tất cả

*

*

⟹ Chọn C

Câu 7. Biết

*
với m, n, p. Là các số nguyên dương. Tính tổng S = m + n + p.

A. S = 6

B. S = 5

C. S = 7

C. S = 8

Hướng dẫn giải

Ta bao gồm

*

Tính

*

Đặt

*

Đổi cận: lúc x = 0 thì t = π + e; lúc x = 1 thì t = π + 2e.

*

Khi kia

*
. Vậy S = 7.

⟹ Chọn C

Câu 8. cho y = f(x) là hàm số chẵn và tiếp tục trên ℝ. Biết

*
. Giá trị của bằng

A. 1

B. 6

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Do

*
cùng
*

*

Mặt không giống

*
với y = f(x) là hàm số chẵn, thường xuyên trên ℝ

⇒ f(–x) = f(x) ∀x ∊ ℝ.

Xét I = . Đặt t = –x ⇒ dx = – dt

*

⟹ Chọn D

Câu 9. đến hàm số f(x) liên tục trên đoạn <1; 4> và thỏa mãn

*
. Tính tích phân
*
.

A. I = 3 + 2ln2 2

B. I = 2ln2 2

C. I = ln2 2

D. I = 2ln 2

Hướng dẫn giải

Ta gồm

*

Xét

*

Đặt

*

*

Xét

*

Do kia

*

⟹ Chọn B

Dạng 7. Tích phân hàm ẩn

phương thức giải

Phương pháp giải bình thường cho loại toán này là vận dụng kỹ thuật đổi biến, cách thức giải từng phần và kỹ thuật đạo hàm…, dường như có một vài ba dạng đặc trưng sau:

Loại 1: Biểu thức tích phân đem về dạng: u(x). f’(x) + u’(x) f(x) = h(x)

Cách giải

Ta bao gồm u(x) f’(x) + u’(x) f(x) = f(x)>’

Do đó u(x) f’(x) + u’(x) f(x) = h(x) ⇔ f(x)>’ = h(x)

Suy ra u(x) f(x) = ∫h(x) dx

Suy ra ta được f(x)

Loại 2: Biểu thức tích phân đem về dạng: f’(x) + f(x) = h(x)

Cách giải

Nhân hai vế với ex ⇒ ex. f’(x) + ex. f(x) = ex. H(x) ⇔ f(x)>’ = ex. H(x)

Suy ra ex. f(x) = ∫ex h(x) dx

Suy ra được f(x)

Loại 3: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f’(x) – f(x) = h(x)

Cách giải

Nhân hai vế cùng với e–x ⇒ e–x. f’(x) + e–x. f(x) = e–x. H(x) ⇔ f(x)>’ = e–x. H(x)

Suy ra e–x. f(x) = ∫e–x h(x) dx

Suy ra được f(x)

Loại 4: Biểu thức tích phân đem lại dạng: f’(x) + p(x) f(x) = h(x)

Cách giải

Nhân hai vế với

*

*

Suy ra

*

Suy ra được f(x)

Công thức

Bài tập vận dụng

Câu 1. mang đến hàm số f(x) bao gồm đạo hàm thường xuyên trên <0; 1>, vừa lòng 3 f(x) + x f’(x) = x2018 với mọi x ∊ <0; 1>. Tính

*
.

A.

*

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

Từ đưa thiết 3 f(x) + x f’(x) = x2018, nhân hai vế mang lại x2 ta được

3x2 f(x) + x3 f’(x) = x2020 ⇔ f(x)>’ = x2020.

Suy ra

*

Thay x = 0 vào hai vế ta được C = 0 ⇒

*

Vậy

*

⟹ Chọn C

Câu 2. mang lại hàm số f(x) gồm đạo hàm tiếp tục trên <0; 4>, vừa lòng

*
với mọi x ∊ <0; 4>. Khẳng định nào tiếp sau đây đúng?

A.

B. E4 f (4) – f (0) = 3e

C. E4 f (4) – f (0) = e4 – 1

D. E4 f (4) – f (0) = 3

Hướng dẫn giải

Nhân nhị vế cho ex để thu dược đạo hàm đúng, ta được

*

Suy ra

*

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 3. cho hàm số f(x) tất cả đạo hàm bên trên ℝ, vừa lòng f’(x) – 2018 f(x) = 2018 x2017 e2018x với mọi x ∊ ℝ và f (0) = 2018. Giá trị f (1) bằng

A. 2018e–2018

B. 2017e2018

C. 2018e2018

D. 2019e2018

Hướng dẫn giải

Nhân nhì vế mang lại e–2018x để thu được đạo hàm đúng, ta được

f’(x) – 2018 f(x) = 2018 x2017 e2018x ⇔ <f(x) e–2018x>’ = 2018 x2017.

Suy ra f(x) e–2018 = ∫2018x2017 dx = x2018 +C.

Thay x = 0 vào nhị vế ta được C = 2018 ⇒ f(x) = (x2018 + 2018) e2018x.

Vậy f (1) = 2019 e2018.

⟹ Chọn D

Câu 4. mang lại hàm số f(x) có đạo hàm bên trên ℝ, thỏa mãn

*
cùng f (0) = –2. Giá trị f (1) bằng

A. E

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

Nhân hai vế đến

*
nhằm thu được đạo hàm đúng, ta được

*

Suy ra

*

Thay x = o vào nhì vế ta được

*

Vậy

*

⟹ Chọn C

Câu 5. xét hàm số f(x) liên tiếp trên đoạn <0; 1> và vừa lòng . Tích phân

*
bằng

A.

*

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

Ta có: (1).

Đặt t = 1 – x, nuốm vào (1), ta được:

*
giỏi
*
(2).

Từ (1) & (2), ta được:

*

Do đó, ta có:

*

Cách 2: công thức

Lấy tích phân 2 vế ta được

*

*

Chú ý: Ta rất có thể dùng phương pháp

*
. Lúc đó:

Từ suy ra

*

⟹ Chọn C

Câu 6. mang đến

*
. Giá trị
*
theo a là

A. 2a

B. 4a

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

Đặt t = x2 + 1 ⇒ dt = 2x dx.

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2.

Khi đó:

*

⟹ Chọn C

Dạng 8. Bất đẳng thức tích phân

Phương pháp giải

Áp dụng những bất đẳng thức:

Nếu f(x) liên tiếp trên thì

*

Nếu f(x) tiếp tục trên cùng m ≤ f(x) ≤ M thì

*

Nếu f(x), g(x) thường xuyên trên thì

*
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f(x) = k. G(x).

Bất đẳng thức AM – GM

Bài tập vận dụng

Câu 1. cho hàm số f(x) có đạo hàm thường xuyên trên <0; 1>, thỏa mãn f (1) = 0,

*
cùng
*
. Quý giá phân
*
bằng

A. 1

B.

*

C.

*

D. 4

Hướng dẫn giải

Dùng tích phân từng phần ta bao gồm

*
. Kết hợp với giả thiết f (1) = 0, ta suy ra

Theo Holder

*

Vậy đẳng thức xảy ra nên ta gồm f’(x) = kx3, cố gắng vào ta được k = –7.

Suy ra

*

*

⟹ Chọn B

Câu 2. mang đến hàm số f(x) bao gồm đạo hàm thường xuyên trên <0; 1>, thỏa mãn f (1) = 1,

*
với
*
. Giá trị f (2) bằng

A. 2

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

Theo Holder

*

*

Vậy

*

⟹ Chọn D

Câu 3. cho hàm số f(x) có đạo hàm tiếp tục trên <0; 1>, thỏa mãn nhu cầu f (1) = 2, f (0) = 0 cùng

*
. Tích phân bằng

A. 0

B. 1011

C. 2018

D. 2022

Hướng dẫn giải

Theo Holder

*

*

Vậy f(x) = 2x ⇒ = 1011.

⟹ Chọn B

Câu 4. mang lại hàm số f(x) nhận quý giá dương và gồm đạo hàm f’(x) tiếp tục trên <0; 1>, thỏa mãn nhu cầu f (1) = e f (0) cùng . Mệnh đề nào tiếp sau đây đúng?

A.

*

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

Ta tất cả

*

*

Mà cần dấu “=” xảy ra, có nghĩa là

*

*

Theo mang thiết f (1) = e f (0) cần ta tất cả

*

*

Bạn cũng có thểThích