Tích phân là phần bài xích tập thường lộ diện trong các đề thi trung học phổ thông Quốc Gia. Phần bài bác tập này không quá khó, tuy vậy để đạt trọn điểm số những em đề xuất nắm chắn chắn công thức cũng như làm nhiều bài tập vận dụng từ cơ phiên bản đến nâng cao. Hãy cùng mày mò ngay trong bài viết dưới đây nhé!



1. Tích phân là gì?

Tích phân là một khái niệm thực hiện nhiều vào toán 12 cùng với nghịch hòn đảo của nó là vi phân. Chúng có vai trò đặc biệt quan trọng là 2 phép tính cơ bản, chính yếu trong lĩnh vực giải tích. Theo giờ Hán Việt, tíchđược hiểulà tích cóp còn phân có nghĩa là từng phần nhỏ. Vì thế ta có thể hiểu dễ dàng rằng tích phân là tổng của không ít phần nhỏ. Trong toán học tập thì tích phân được tư tưởng như sau:

Cho hàm f(x) thường xuyên trên một khoảng khẳng định (kí hiệu:K) cùng a,b là hai số thực bất cứ thuộc K. Nếu như F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu số của F(b)-F(a) được điện thoại tư vấn là tích phân của f(x) trong tầm (a,b). Từ bỏ đó, ta có ký hiệu như sau:

Tích phân từ a mang lại b của f(x) được ký hiệu là: $int_a^bf(x)dx$

Ta có: $int_a^bf(x)dx=F(b)–F(a)$ (với F(x) là một trong nguyên hàm của f(x))

Trong đó

∫: tích phân

dx: biến đổi của tích phân.

Bạn đang xem: Tích phân xác định là gì

f(x)dx: biểu thức dưới dấu tích phân

2. đặc điểm của tích phân xác định

Để thạo các phương thức giải tích phân để vận dụng giải bài bác tập, chúng ta học sinh cùng VUIHOC điểm qua một số trong những những đặc thù của tích phân thường gặp gỡ nhé!

(1) Tích phân trên một giá trị xác định của thay đổi số thì bằng 0

$int_a^af(x)=0$

(2) Đảo cận thì thay đổi dấu

$int_a^bf(x)dx=-int_b^af(x)dx$

(3) Hằng số vào tích phân rất có thể được đưa ra ngoài dấu tích phân

$int_b^ak imes f(x)dx=k imesint_a^bf(x)dx$

(4) Tích phân một tổng bởi tổng các tích phân

$int_a^bdx=int_a^bf_1(x)dxpmint_a^bf_2(x)dxpm...pmint_a^bf_n(x)dx$

(5) Tác đôi tích phân

$forall gamma in Rightarrow int_a^bf(x)dx=int_a^gammaf(x)dx+int_gamma ^bf(x)dx$

(6) đối chiếu giá trị của tích phân

$f(x)geq 0$ bên trên đoạn$Rightarrow int_a^bf(x)dxgeq 0$$f(x)geq g(x)$ trên đoạn$ Rightarrow int_a^bf(x)dxgeq int_a^bg(x)dx$$mleq f(x)leq M$ bên trên đoạn$Rightarrow m(b-a)leq int_a^bf(x)dxleq M(b-a)$

Ngoài ra còn một vài đặc điểm tích phân xác định mà các em thường gặp mặt khi làm bài bác thi mà không thể bỏ qua:

3. Bảng phương pháp tích phân cơ bản học sinh 12 yêu cầu ghi nhớ

Để làm cho được những dạng bài tập tích phân những em phải lưu với ghi nhớ ngay bảng bí quyết sau đây:

Đăng ký ngay để được những thầy cô tổng hợp kiến thức tích phân một giải pháp ngắn gọn và dễ dàng nắm bắt nhất

4. Cách thức giải các dạng bài xích tập tích phân

4.1. Cách thức tích phân từng phần

Nếu u(x) là hàm số tất cả đạo hàm liên tục trên thì ta có:

$int_a^bu(x)v"(x)dc=(u(x)v(x))left|eginmatrixb\a endmatrix ight. -int_a^bv(x)u"(x)dx$

Hay$int_a^budv=uvleft|eginmatrixb\aendmatrix ight. - int_b^avdu$

Áp dụng bí quyết trên ta tất cả quy tắc tính$int_a^bf(x)dx$ bằng cách thức tích phân từng phần sau đây:

Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = uv"dx bằng cách chọn một phần tích phù hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv=v"(x)dx

Bước 2: Tính du=u"dx với $u=int dv=int v"(x)dx$

Bước 3: Tính$int_a^bvdu = int_a^bvu"dx$ và uv$left|eginmatrixb\aendmatrix ight.$

Bước 4: Áp dụng công thức$int_a^bf(x)dx=int_a^buvd=uvleft|eginmatrix b\aendmatrix ight.-int_a^bvdu$

4.2. Giải bài bác tập tích phân bằng cách phân tích

Với phương pháp tích phân từng phần các em có thể sử dụng các đồng nhất các phương pháp sau đó đổi khác các biểu thức dưới dấu vết phân để đổi mới tổng của các hạng tử như sau:

Ví dụ: Tính tích phân $I=int_2^2fracx^2-2x3dx$

Giải:

Ta có: $I=int_1^2(frac1x-frac2x^2)dx=(lnleft | x ight |+frac2x)left|eginmatrix2\1 endmatrix ight.=(ln2+1)-(ln1+2)=ln2-1$

4.3. Phương thức tích phân đổi phát triển thành số

Với phương pháp biến hóa thì sẽ có được 2 dạng với mỗi dạng là 1 trong cách tính không giống nhau. Cụ thể là:

Dạng 1:

Để tính tích phân: $I=int_a^bg(x)dx$ ta thực hiện công việc sau đây:

Bước 1: Chọn biến đổi số:

Phân tích g(x)dx=fu"(x)dx=fdĐặt u = u(x)

Bước 2: triển khai phép đổi cận

Với x=a thì u = u(a)Với x=b thì u=u(b)

Bước 3: khi ấy ta có$int_a^bg(x)dx=int_u^(a)^u^bf(u)du$

Dạng 2:

Để tính tích phân: $I=int_a^bf(x)dx$ bao gồm hàm số f(x) liên tiếp trên , ta tuân theo các bước:

Bước 1: chọn $x=varphi (t)$, trong đó$varphi (t)$ nằm trong tập xác định của f.

Bước 2: trả sử$varphi "(t)$ liên tục, rước vi phân dx =dx =$varphi (t)dt$

Bước 3: Ở đây, những em tất cả thể chọn 1 trong nhì cáchsau:

- Cách1: Tính các cận$alpha$và$eta$ tương xứng theo a với b (điều kiện$a=varphi (alpha$và$b=varphi (eta )$), khi ấy ta được:$I=int_alpha ^eta f(varphi (t).varphi (t)dt$

- phương pháp 2: Tính theo cách khẳng định nguyên hàm nhằm tìm ra cực hiếm của tích phân xác minh (lúc này$alpha$ yêu cầu là đơn ảnh để thể hiện tác dụng của hàm số t thành hàm số của x)

a) cùng với $I=int_1^1/2f(x)dx$, chắt lọc ẩn phụ x=sint và$-fracpi 2leq tleq fracpi 2$, ta có thể làm theo cách 1 vì lúc này với x=0ta tất cả t=0, với $x=frac12$ ta có $t =fracpi 6$

b) Với$I=int_1^1/3f(x)dx$,lựa lựa chọn ẩn phụx=sint và$-fracpi 2leq tleq fracpi 2$, ta rất có thể làm theo phong cách 2vì bây giờ với $x=frac13$ sẽ không chỉ có ra được số đo góc t.

Nắm trọn kỹ năng và kiến thức và cách thức giải phần đa dạng bài bác tập Toán thi THPT non sông với cỗ tài liệu sản phẩm hiếm của VUIHOC ngay

4.4. Phương pháp vi phân

Vi phân của hàm số y=f(x) được ký hiệu dy với cho vị dy=df(x)=y’dx=f’(x)dx

Một số công thức vi phân quan trọng đặc biệt cần bắt buộc nhớ:

(1)$dx=frac1ad(axpm b)=frac-1ad(bpm ax)$

(2) $xdx=frac12d(x^2=frac12ad(ax^2pm b)=-frac12ad(bpm ax^2)$

(3)$x^2dx=frac13d(x^3pm b)=frac-13ad(bpm ax^3)$

(4)$sin x=-d(cosx)=frac-1ad(a cos xpm b)$

(5)$cos xdx=d(sinx)=frac1ad(asin xpm b)$

(6)$fracdxcos^2x=d(tanx)=frac1ad(a chảy xpm b)$

(7) $fracdxsin^2x=-d(cotx)=frac-1ad(acotxpm b)$

(8)$fracdx2sqrtx=d(sqrtx)=frac1ad(asqrtxpm b)=frac-1ad(bpm asqrtx)$

(9)$e^xdx=d(e^x)=frac1ad(ae^xpm b)=frac-1ad(bpm ae^x)$

(10)$fracdxx=d(lnx)=frac1ad(alnxpm b)=frac-1ad(bpm alnx)$

5. Phối hợp các cách thức đối với bài xích tập dạng nâng cao

Sau khi đã cố được các cách thức giải bài tập tích phân thì sau đây sẽ là 1 trong những vài ví dụ:

Để ôn tập các dạng bài xích về tích phân, các em cùng thầy Thành Đức Trung tổng ôn và luyện đề những bài tập nguyên hàm tích phân nhé! Trong clip này, thầy Trung sẽ có rất nhiều mẹo giải hay, những bấm trang bị CASIO giải tích phân rất nhanh.

Trên trên đây là tổng thể công thức và các dạng bài bác tập về tích phân thường chạm mặt thuộc chương trình Toán 12. Tuy nhiên nếu em mong muốn đạt kết quả tốtthì hãy ôn tập các công thức toán 12 và làm cho thêm cácdạng bài bác khác nữa. Em có thể truy cập Vuihoc.vn và đk tài khoản nhằm luyện đề! Chúc những em đạt tác dụng cao vào kỳ thi THPT nước nhà sắp tới.

Nội dung bài bác giảng Bài 1: Tích phân xác địnhsau đây vẫn giúp chúng ta tìm hiểu về có mang tích phân xác định, điều kiện khả tích, vài đặc điểm của tích phân xác định, công thức Newton-Leibnitz. Mời các bạn cùng tham khảo!


1. Khái niệm tích phân xác minh

1.1. Việc diện tích

1.2 Định nghĩa

2. Điều kiện khả tích

3. Vài đặc điểm của tích phân xác định

4. Phương pháp Newton-Leibnitz

4.1 Sự liên hệ giữa nguyên hàm cùng tích phân xác định

4.2 công thức Newton-Leibnitz


*

Cho hàm f xác định, dương và thường xuyên trên . Tính diện tích hình thang cong (H) giới hạn bởi(y = f(x), y = 0, x = a, x = b.)

Chia đoạn thành n đoạn bởi những điểm(x_0 = a

Qua xi kẻ mặt đường thẳng song song Oy. Hình thang cong (H) được phân thành n hình thang cong nhỏ (Hi).

Xem thêm: Chia Sẻ Cách Viết Tiểu Luận Thật Chi Tiết, (Pdf) Hướng Dẫn Viết Tiểu Luận

Trên mỗi đoạn (left< x_i - 1,x_i ight>) mang điểm (xi _i in left< x_i - 1,x_i ight>), tùy chỉnh thiết lập hình chữ nhật bao gồm độ dài các cạnh là(x_i - 1,x_i) và(fleft( xi _i ight))

⇒ diện tích s của hình thang cong (Hi) ngay sát bằng diện tích hình chữ nhật bao gồm độ dài những cạnh là ((x_i - 1,x_i)) và (fleft( xi _i ight)).

(S_(H) simeq (x_1 - x_0)f(xi _1) + (x_2 - x_1)f(xi _2) + (x_3 - x_1)f(xi _3) + ... + (x_n - x_n - 1)f(xi _n) = sumlimits_i = 1^n (x_i - x_i - 1)f(xi _i))

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường(y = f(x) = x^2, y = 0, x = 1,x = 3)

Giả sử phân chia đoạn <1;3> vì phép phân hoạch đều

(x_0 = 1,x_1 = 1 + frac2n,...,x_i = 1 + i.frac2n,...,x_n = 3)

Chọn(xi _i = x_i). Lập tổng:

(S_n = sumlimits_i = 1^n f(xi _i)(x_i - x_i - 1) = frac2n sumlimits_i = 1^n f(x_i) = frac2nsumlimits_i = 1^n x_i )

(= frac2nsumlimits_i = 1^n left( 1 + frac2in ight) ^2 = frac2nsumlimits_i = 1^n left( 1 + frac4in + frac4i^2n^2 ight))

(= frac2nsumlimits_i = 1^n 1 + frac8n^2sumlimits_i = 1^n i + frac8n^3sumlimits_i = 1^n i^2)

( = 2 + frac8n^2fracn(n + 1)2 + frac8n^3fracn(n + 1)(2n + 1)6)

Diện tích là

(S = mathop lim limits_max (x_i - x_i - 1) o 0 S_n = mathop lim limits_n o + infty S_n = 2 + 4 + frac83 = frac263)

Ví dụ 2: Tính diện tích s hình thang giới hạn bởi(y=2x-1,y=0,x=2,x=5)

Coi phép phân hoạch phần đa trên <2,5>

(x_0 = 2,x_1 = 2 + frac3n,...,x_i = 2 + i.frac3n,...,x_n = 5)

Chọn(xi _i = x_i). Lập tổng:

(S_n = sumlimits_i = 1^n (x_i - x_i - 1)f(xi _i) = frac3n sumlimits_i = 1^n (2x_i - 1))

(= frac3nsumlimits_i = 1^n left< 2left( 2 + frac3in ight) - 1 ight> = frac3nsumlimits_i = 1^n left( 3 + frac6in ight) = 9 + frac18n^2sumlimits_i = 1^n i = 9 + frac18n^2fracn(n + 1)2 )

( Rightarrow S = mathop lim limits_n o + infty S_n = 9 + 9 = 18)


Cho hàm số f khẳng định trên . Coi phép phân hoạch (bất kỳ) đoạn bởi các điểm

(x_0 = a

Trên từng đoạn (left< x_i - 1,x_i ight>) lấy điểm(xi _i) bất kỳ.

Lập tổng tích phân:(I_n = sumlimits_i = 1^n (x_i - x_i - 1)f(xi _i ))

Nếu giới hạn(mathop lim limits_max (x_i - x_i - 1) o 0 I_n) vĩnh cửu hữu hạn không dựa vào vào phép phân hoạch trên đoạn và không nhờ vào cách lựa chọn điểm (xi _i)thì giới hạn đó được gọi là tích phân khẳng định của hàm f trên .

Ký hiệu:

(intlimits_a^b f(x)dx = mathop lim limits_max (x_i - x_i - 1) o 0 I_n = mathop lim limits_max (x_i - x_i - 1) o 0 sumlimits_i = 1^n (x_i - x_i - 1)f(xi _i))

trong kia a là cận dưới, b là cận trên,

x vươn lên là tích phân, f(x) hàm dưới vết tích phân

Khi hàm f có tích phân xác định trên ta nói f khả tích bên trên


Định lý:Hàm số f khả tích trên ⇒ f bị chận bên trên

Chứng minh:

Giả sử f không biến thành chận bên trên . Lựa chọn dãy các phân hoạch trên sao cho(mathop lim limits_n o infty mathop max limits_k = 1,...,n (x_i - x_i - 1) = 0)

Vì f không biến thành chận bên trên phải tồn tại k và(c in left< x_k - 1,x_k ight>) sao cho(left| f(c) ight|left< x_k - x_k - 1 ight>) bự tùy ý

Chọn(xi _k = c)thì

(I_n = sumlimits_i = 1^n (x_i - x_i - 1)f(xi _i ) = sumlimits_i = 1^n (x_i - x_i - 1)f(xi _i) + (x_k - x_k - 1)f(c_i))

Suy ra(left| I_n ight| ge left| f(c) ight|(x_k - x_k - 1) - left| sumlimits_i = 1^n f(xi _i)(x_i - x_i - 1) ight| > n)

( Rightarrow I_n)không thể có giới hạn hữu hạn khi(max (x_i - x_i - 1) o 0)

( Rightarrow f)không khả tích bên trên . Do đó, f bị chận trên .

Ghi chú:

Điều ngược lại không đúng, nghĩa là trường hợp f bị chận trên thì chưa cứng cáp f khả tích bên trên .

Ví dụ:(f(x) = left{ eginarrayl 1,,,,x in Q cap left< 0,1 ight>\ 0,,,,x in left< 0,1 ight>ackslash Q endarray ight. )

Hiển nhiên f bị chận trên <0,1> vì(0 le f(x) le 1,forall x in <0,1>)

Nhưng f không khả tích bên trên <0, 1>. Thật vậy, xét phép phân hoạch trên<0, 1>:(x_0=0

Định lý:

i) f tiếp tục trên ⇒ f khả tích trên

ii) f bị chận bên trên cùng f tất cả hữu hạn điểm ngăn cách trên ⇒f khả tích bên trên .

Ví dụ 1: sử dụng định nghĩa tính(intlimits_3^5 (x^2 - 2x)dx )

(left( intlimits_3^5 (x^2 - 2x)dx = left. fracx^33 - x^2 ight ight))

(f(x) = x^2 - 2x)liên tục trên <3,5>⇒ f khả tích trên<3,5>

Coi phép phân hoạch gần như trên đoạn<3,5> với

(x_i = ifrac5 - 3n + 3 = 3 + frac2in)

Chọn(xi _i = x_i). Lập tổng:

(I_n = sumlimits_i = 1^n (x_i - x_i - 1)f(xi _i) = frac2n sumlimits_i = 1^n left< left( 3 + frac2in ight)^2 - 2left( 3 + frac2in ight) ight>)

(= frac2nsumlimits_i = 1^n left( 3 + frac8in + frac4i^2n^2 ight))

(= frac2n3n + frac16n^2fracn(n + 1)2 + frac8n^3fracn(n + 1)(2n + 1)6)

( Rightarrow intlimits_3^5 (x^2 - 2x )dx = mathop lim limits_n o + infty I_n = 6 + 8 + frac83 = frac503)

Ví dụ 2: dùng định nghĩa tính(intlimits_0^a mathop m sinxdx olimits )

Hướng dẫn:(S_n = sumlimits_i = 1^n sin ih left( h = fracan ight)). Tính Sn bằng cách nhân hai vế cho(2sin frach2)


Qui ước:

(i),,intlimits_a^a f(x)dx = 0)

(ii),,intlimits_a^b f(x)dx = - intlimits_b^a f(x)dx )

1)(,intlimits_a^b mdx - m(b - a))m là hằng số

Với những hàm f, g khả tích bên trên ta có:

2)(,intlimits_a^b left< f(x) pm g(x) ight> dx = intlimits_a^b f(x)dx pm intlimits_a^b g(x) dx)

3)(,intlimits_a^b kf(x)dx = kintlimits_a^b f(x)dx )

Hệ quả: trường hợp ki là hằng số và những hàm số fi khả tích bên trên thì(,intlimits_a^b sumlimits_i = 1^n k_if_i(x)dx = sumlimits_i = 1^n k_iintlimits_a^b f_i(x)dx )

4)(forall c in :intlimits_a^b f(x)dx = intlimits_a^c f(x)dx + intlimits_c^b f(x)dx )

Hệ quả:

(a le c_1 le c_2... le c_n le b)

(intlimits_a^b f(x)dx = intlimits_a^c_1 f(x)dx + intlimits_c_1^c_2 f(x)dx + ... + intlimits_c_n^b f(x)dx)

5)(f(x) le g(x),forall x in Rightarrow intlimits_a^b f(x)dx le intlimits_a^b g(x)dx )

6) Định lý quý giá trung bình: nếu như hàm số f tiếp tục trên thì(exists c in )sao cho(intlimits_a^b f(x)dx = (b - a)f(c))

7) giả dụ hàm số fliên tục bên trên ,(f(x) ge 0)với(forall x in )và(exists x_0 in )sao cho(f(x_0)>0)thì(intlimits_a^b f(x)dx > 0)


Nếu hàm f khả tích bên trên thì(forall x in )ta có(intlimits_a^x f(x)dx )tồn tại(Rightarrow phi (x) = intlimits_a^x f(t)dt)là một hàm xác minh trên

Lưu ý:(intlimits_a^x f(x)dx = intlimits_a^x f(t)dt = intlimits_a^x f(y)dy)

Định lý: Cho f là hàm liên tiếp trên . Lúc đó(phi (x) = intlimits_a^x f(t)dt )khả vi tại(x in(a,b))và

(phi "(x) = fracdphi (x)dx = fracddxintlimits_a^x f(t)dt = left( intlimits_a^x f(t)dt ight)" = f(x))

Chứng minh: lấy h khá bé sao cho(x,x+h in (a,b)). Ta có:

(phi (x + h) - phi (x) = intlimits_a^x + h f(t)dt - intlimits_a^x f(t)dt )

(= intlimits_a^x f(t)dt + intlimits_a^x + h f(t)dt - intlimits_a^x f(t)dt = intlimits_a^x + h f(t)dt)

Từ định lý giá trị trung bình ta suy ra:

(phi (x + h) - phi (x) = f(c)(x + h - x) = f(c)h)

với(c in )hoặc(c in)khi h→ 0 thì c→ x. Bởi f liên tục tại x nên(mathop lim limits_h o 0 f(c) = mathop lim limits_c o x f(c) = f(x))

(Rightarrow phi "(x) = lim fracphi (x + h) - phi (x)h = mathop lim limits_h o 0 frachf(c)h)

(= mathop lim limits_c o x f(c) = f(x))với(x in (a,b))

Tương tự:

nếu x = a ta có(phi "(a^ + ) = f(a))

nếu x = b ta có(phi "(a^ - ) = f(b))

Hệ quả: giả dụ f tiếp tục trên thì(phi (x) = intlimits_a^x f(t)dt)là một nguyên hàm của f trên


Định lý: F là nguyên hàm của f bên trên thì(intlimits_a^b f(x)dx = F(b) - F(a))

Chứng minh:

Từ hệ trái trên ta tất cả F(x) và(intlimits_a^x f(t)dt )là nhì nguyên hàm của f bên trên thì(intlimits_a^x f(t)dt = F(x) - C)

Cho x = a:(0 = intlimits_a^a f(t)dt = F(a) + C Rightarrow C = - F(a))

Cho x = b:(intlimits_a^a f(t)dt = F(b) + C = F(b) - F(a))

Ví dụ 1:(intlimits_3^5 (x^2 - 3x)dx = left( fracx^33 - 3fracx^22 ight)left| eginarrayl 5\ 2 endarray ight. = frac1253 - frac752 - left( frac83 - frac122 ight))

Ví dụ 2:(I = intlimits_0^1 x,arctg,xdx)

Đặt(u = ,arctg,x Rightarrow du = fracdx1 + x^2)

(dv = xdx)chọn(v = frac12(x^2 + 1))

Ta có:(I = frac12(x^2 + 1)arctg,xleft| eginarrayl 1\ 0 endarray ight. - frac12intlimits_0^1 dx = fracpi 4 - frac12 )

Ví dụ 3:(intlimits_0^a sqrt a^2 - x^2 dx,(a > 0))

Ta có:(intlimits_0^a sqrt a^2 - x^2 dx, = left( fracx2sqrt a^2 - x^2 + fraca^22arcsin ,fracxa ight)left| eginarrayl a\ 0 endarray ight. = fraca^22.fracpi 2 = fracpi a^24 )

Nhận xét: trả sử f liên tục trên( ; varphi(x),h(x))khả vi và tất cả miền giá bán trị(subset )

Ta có:(left( intlimits_varphi (x)^h(x) f(t)dt ight)" = fracddxintlimits_varphi (x)^h(x) f(t)dt = fracddxF(t)left| eginarrayl h(x)\ varphi (x) endarray ight. )

(eginarrayl = left< F(h(x)) - F(varphi (x)) ight>" = h"(x)F"(h(x)) - varphi "(x)F"(varphi (x))\ \ = h"(x)f(h(x)) - varphi "(x)f(varphi (x)) endarray )

Ví dụ 1:

(fracddxintlimits_x^2^0 sqrt 1 + t^2 dt = - fracddxintlimits_0^x^2 sqrt 1 + t^2 dt = - (x^2)" = sqrt 1 + (x^2)^2 = - 2xsqrt 1 + x^4)

Ví dụ 2: Tính(mathop lim limits_x o 0^ + fracintlimits_0^x^2 sin sqrt t dt x^3 = mathop lim limits_x o 0^ + fracleft( intlimits_0^x^2 sin sqrt t dt ight)"(x^3)")

(= mathop lim limits_x o 0^ + frac2xsin sqrt x^2 3x^2 = mathop lim limits_x o 0^ + frac2xsin x3x = frac23)

Ví dụ 3:

(mathop lim limits_x o 1 fracintlimits_frac1x^sqrt x sin ^2tdt x - 1 = mathop lim limits_x o 1 fracfrac12sqrt x sin ^2sqrt x + frac1x^2sin ^2frac1x1 = frac32sin ^21)

Bạn cũng có thểThích