Bài giảng
Giải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (Linear
Algebra)Xác suất thốngkê
Phương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luận
Thảo luận về giảitích
Thảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooks
Maths Ebooks

4. Một số trong những ví dụ:

1. Xác minh cận mang tích phân theo 2 phương Ox với Oy của:

*

Giải:

Ta gồm miền D số lượng giới hạn bởi những đường:

*
Tọa độ giao điểm của 2 đướng
*
cùng
*
là A(2;-2) với C (8;4) và miền D được xác định như hình bên.

Bạn đang xem: Tích phân kép là gì

Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D gồm cùng 1 đường vào là

*
và thuộc 1 đưởng ra là x = y + 4.

Do đó:

*

Vậy

*

=

*

=

*

Còn theo phương Oy thì miền D lại sở hữu 2 con đường vào là y = x – 4 và

*
và tất cả chung 1 mặt đường ra là
*
. Vị đó, ta phân chia miền D thành 2 miền D1, D2 do đoạn AB bỏ trên mỗi miền có chung 1 đường vào với 1 đường ra.

Do đó, theo phương Oy ta có:

*

*

Vậy ta có:

*

Tính toán tương tự như trên, ta bao gồm kết quả.

Nhận xét:

1. Từ bỏ tích phân trên miền D1, ta nhận thấy cận của tích phân theo thay đổi y có tính đối xứng, hay dựa vào ồ thị ta bao gồm miền D là miền đối xứng qua Ox. Do đó, trường hợp hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y thì tích phân bằng 0; còn nếu f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân đang bằng gấp đôi tích phân trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0).

Từ đó, nếu như miền D đối xứng qua Ox với f(x;y) = f(x;-y) thì:

*

(với D1 là phần của D ứng cùng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox cùng f(x;y) = -f(x;-y) thì:

*

2. Tương tự, giả dụ miền D đối xứng qua Oy cùng f(x;y) = f(-x;y) thì:

*

(với D’ là phần của D ứng cùng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox với f(x;y) = -f(-x;y) thì:

*

3. Giả dụ miền D là miền đối xứng qua Ox với Oy với f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

*

(với D* là phần của D bên trong góc phần bốn thứ nhất)

(Các công dụng trên coi như bài bác tập, các em tự hội chứng minh)

4. Trả sử

*
và
*
thì:

*

(nghĩa là tích phân kép sẽ thành tích của 2 tích phân đơn. Những em tự triệu chứng minh)

*
Xét trong mặt phẳng Oxy, miền kín đáo D số lượng giới hạn bởi con đường L (đóng với bị ngăn ; miền D bí mật nếu nó giới hạn bởi mặt đường cong kín, và những điểm bên trên biên L được xem như là thuộc D)

Ta xét hình trụ, xuất hiện đáy là miền D với mặt bên trên là mặt cong z = f(x,y) (f(x,y) xác minh và liên tiếp trong miền D).

Khi đó, ta phân chia miền D thành n phần có diện tích s tương ứng là

*
và mỗi miền có 2 lần bán kính là
*
(đường kính của một miền là khoảng cách lớn độc nhất vô nhị giữa nhị điểm nằm trong miền đó. Tuyệt ta có thể ký hiệu:
*
)

Lấy trên mỗi miền 1 điểm

*
lúc đó trên từng miền
*
, thì hình tròn trụ sẽ dao động với hình trụ bao gồm đáy là
*
và chiều cao là
*
. Vày đó, thể tích của hình trụ xuất hiện đáy là D với mặt bên trên là f(x,y) rất có thể tính xấp xỉ bởi:

*

Như vậy, tổng Vn dựa vào vào giải pháp chia (còn điện thoại tư vấn là phân hoạch của ) miền D và bí quyết chọn điểm Pi. Vị vậy, nếu chúng ta chia miền D càng các thì thể tích hình trụ càng chủ yếu xác. Nghĩa là, 2 lần bán kính di của mỗi miền càng bé dại (càng tiến về 0) thì ta đang có chính xác diện tích của miền D.

Vậy, cho

*
thế nào cho
*
. Khiđó, ví như tổng vn tiến cho 1 quý hiếm hữu hạn V không phụ thuộc vào cách phân chia miền D và giải pháp chọn điểm Pi thì số lượng giới hạn V này được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D cùng được cam kết hiệu
*

trong đó: hàm số f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu vết phân, D được hotline là miền lấy tích phân; ds là yếu tố diện tích.

Nhận xét:

1. Từ khái niệm ta thấy rằng, tích phân kép (tích phân nhì lớp) được xuất phát điểm từ yêu ước tính thể tích của hình trụ có mặt trên là phương diện cong bất kỳ và mặt đáy là hình chiếu của mặt cong xuống phương diện phẳng z = 0. Vì đó, f(x,y) > 0. Tuy nhiên, ta vẫn có thể xét trường hợp f(x,y)

*

Ta có:

Hình a : D là miền phần đa theo phương Oy (dù đưởng thẳng x = a và x = b giảm miền D tại vô số điểm, nhưng lại là các điểm biên chứ không phải điểm trong) và có cùng 1đường vào, 1 mặt đường ra cơ mà không là miền đa số theo phương Ox vì có 1 vùng mà những đưởng thẳng tuy nhiên song cùng với trục Ox, đi qua điểm vào và giảm biên trên 4 điểm.

Hình b: D là miền hầu hết theo phương Oy tất cả đường vào g1(x) và mặt đường ra g2(x). Ngoài ra, D cũng chính là miền rất nhiều theo phương Ox nhưng có 2 con đường vào cùng 1 con đường ra x = b.

Hình c: D là miền đều theo phương Oy, gồm cùng 1 mặt đường vào, cùng 1đường ra. Sát bên đó, D là miền số đông theo phương Ox nhưng bao gồm tới 2 con đường vào với 2 đường ra.

2. Các miền D được khẳng định dưới đó là miền rất nhiều theo phương Ox. Các bạn hãy xét xem nó có phải là miền mọi theo phương Oy không? cùng nếu là miền đều, hãy xét coi nó bao gồm mấy mặt đường vào với mấy đường ra?

*

3.2 cách tính (Định lý Fubini)

1. Nếu D xácđịnh bởi vì

*
g, h liên tục trên thì:

*

*

2. Nếu D xácđịnh vì

*
g, h liên tục trên thì:

*

*

(Cách chứng minh định lý Fubini, những em tất cả thể đọc thêm trong những giáo trình)

Nhận xét:

1. Ở trường thích hợp 1, ta gồm D là miền đông đảo theo phương Oy trong khoảng

*
và gồm cùng 1 mặt đường vào g(x) và thuộc 1 mặt đường ra h(x). Khi đó, ta tính tích phân theo thay đổi y trước (coi x là hằng số) với cận dưới là đường vào với cận trên chính là đường ra. Sau khoản thời gian có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến x trong khúc .

2. Miền rất nhiều theo phương Oy thì mặt đường vào, con đường ra là hàm theo đổi mới x.

Xem thêm: Các loại thảo dược ngâm rượu tốt cho sức khỏe, ngâm rượu là gì

3. Ở trường hợp 2, ta tất cả D là miền đa số theo phương Ox trong vòng

*
và tất cả cùng 1 con đường vào h1(y) và cùng 1 con đường ra h2(y). Khi đó, ta tính tích phân theo thay đổi x trước (coi y là hằng số) với cận dưới là mặt đường vào cùng cận trên đó là đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo trở nên y trong đoạn .

4. Miền đông đảo theo phương Ox thì con đường vào, con đường ra là hàm theo trở thành y.

3.3 phương thức tính:

1. Vẽ miền lấy tích phân D

2. Xét xem miền D liệu có phải là miền hồ hết theo phương Ox (hoặc Oy) không? nếu miền rước tích phân không phần nhiều thì ta phân tách miền D thành rất nhiều miền đều không có phần trong chung.

3. Chọn đường vào và con đường ra (thích hợp) đến miền D. Nếu như mền D không tồn tại cùng 1đường vào và 1 mặt đường ra thì ta phân tách miền D thành mọi miền bé dại sao mang lại trên từng miền nhỏ, chúng tất cả cùng 1đường vào với 1 con đường ra.

4. Áp dụng công thức Fubini cùng các đặc điểm tích phân để tính tích phân nhị lớp theo phương Oy (hoặc Ox).

4. Một số ví dụ:

1. Xác minh cận rước tích phân theo 2 phương Ox và Oy của:

*
, trong các số đó D là miền cung tròn phía trong đoạn trường đoản cú
*
đến 1 của nửa dưới mặt đường tròn (O; 2) được khẳng định như hình dưới đây:

*

Giải:

Ta có miền D số lượng giới hạn bởi những đường:

*
,
*
,
*
cùng
*

Theo phương Oy ta có:

D là miền đều trong tầm

*
và tất cả cùng đường vào
*
cùng cùng con đường ra
*

Do kia ta có:

*

Ngược lại, nếu như đổi thiết bị tự mang tích phân thì theo phương Ox ta có:

D là miền đếu theo phương Ox trongđoạn <-2 ; 0>. Tuy nhiên, đường biên giới trái của D bao gồm 2 đoạn AB cùng BC(-2) tất cả phương trình khác nhau (không cùng mặt đường vào) và đường bên bắt buộc của D cũng tất cả 2 đoạn (-2)D và DEF bao gồm phương trình khác biệt (kông cùng mặt đường ra). Vả lại, hai điểm B, D không tồn tại cùng tung độ nên ta đề xuất chia miền D thành 3 miền ABEF, BCDE cùng C(-2)D bởi các đường thẳng song song cùng với trục Ox: (BE): y = -1, (CD):

*

Trong miền ABEF nằm trong lòng 2 con đường thẳng y = -1 cùng y = 0, đường vào có phương trình

*
và đường ra tất cả phương trình: x = 1.

Trong miền BCDE nằm giữa 2 con đường thẳng

*
cùng y = -1, con đường vào tất cả phương trình
*
và mặt đường ra có phương trình: x = 1.

Trong miền C(-2)D bên trong đoạn từ bỏ y = -2 mang đến

*
, mặt đường vào có phương trình
*
và đường ra bao gồm phương trìnhh:
*

Vậy:

*

Vd2. Tính

*
, D là miền số lượng giới hạn bởi những đường:
*
và
*

Giải

*
Tọa độ giao điểm của 2 đướng
*
cùng
*
là A(2;-2) cùng C (8;4) cùng miền D được xác định như hình bên.

Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D có cùng 1 đường vào là

*
và cùng 1 đưởng ra là x = y + 4.

Do đó:

*

Vậy

*

=

*

=

*

Còn theo phương Oy thì miền D lại sở hữu 2 đường vào là y = x – 4 và

*
và tất cả chung 1 mặt đường ra là
*
. Vì chưng đó, ta phân chia miền D thành 2 miền D1, D2 vị đoạn AB đặt lên mỗi miền có chung 1 con đường vào và 1 con đường ra.

Do đó, theo phương Oy ta có:

*

*

Vậy ta có:

*

Tính toán tương tự như như trên, ta bao gồm kết quả.

Nhận xét:

1. Trường đoản cú tích phân bên trên miền D1, ta phân biệt cận của tích phân theo biến đổi y có tính đối xứng, hay nhờ vào ồ thị ta có miền D là miền đối xứng qua Ox. Vày đó, ví như hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y thì tích phân bằng 0; còn nếu f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân vẫn bằng gấp đôi tích phân bên trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0).

Từ đó, nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:

*

(với D1 là phần của D ứng cùng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(x;-y) thì:

*

2. Tương tự, trường hợp miền D đối xứng qua Oy với f(x;y) = f(-x;y) thì:

*

(với D’ là phần của D ứng cùng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox cùng f(x;y) = -f(-x;y) thì:

*

3. Ví như miền D là miền đối xứng qua Ox với Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

*

(với D* là phần của D phía bên trong góc phần tứ thứ nhất)

(Các kết quả trên coi như bài xích tập, những em tự hội chứng minh)

4. Trả sử

*
và
*
thì:

*

(nghĩa là tích phân kép sẽ các thành tích của 2 tích phân đơn. Những em tự bệnh minh)

Bạn cũng có thểThích