Thói quen tốt nhầm lẫn ?
“Dữ liệu nghiên cứu cho thấy thêm giới tính và công việc và nghề nghiệp có đối sánh tương quan với nhau” - không phải là cách diễn giải hiếm gặp gỡ trong các report khoa học tập xã hôi của sinh viên hiện giờ
Tuy việc diễn giải hiệu quả phân tích thống kê theo phong cách trên hoàn toàn có thể tạm gật đầu trong một số trường đúng theo không đòi hỏi yêu ước cao về trình độ chuyên môn thống kê, song vẫn cần nhấn mạnh rằng biện pháp diễn giải này chưa đúng mực về mặt bản chất. Lý do chính của hiện tượng lạ trên rất có thể do kiến thức hoặc rất có thể xuất phát từ việc chưa nắm rõ khái niệm của thuật ngữ lúc sử dụng
Như bọn họ đã biết, bài toán phân tích mô tả đơn biến (chỉ phân tích độc nhất 1 biến) thường thì không mang về nhiều thông tin có giá chỉ trị do chỉ tế bào tả được 1 chiều cạnh (dimension) của dữ liệu. Đôi khi, các dữ liệu ngẫu nhiên lại có mối tương tác liên quan lại tới nhau. Sự tương quan này hoàn toàn có thể hiểu, lúc một biến X có mối tương tác với đổi mới Y, ta đang hiểu khớp ứng với mỗi cực hiếm X là một trong những giá trị Y tương ứng <1>. Để nắm rõ mối dục tình qua lại giữa các yếu tố, nhà phân tích phải chỉ ra rằng được mối contact có ý nghĩa sâu sắc thống kê thân hai hay những biến.
Động thái bên trên được hotline là “phân tích tương quan” hoặc “phân tích côn trùng liên hệ”
Ảnh 1: Sự khác biệt khi áp dụng thuật ngữ giám sát và đo lường mối contact giữa các biến
Tuy vậy, giữa những nhầm lẫn cơ bản của việc học những thống kê tại vn là việc hiểu đúng thuật ngữ hay đước sử dụng bằng từ bỏ Hán - Việt, trong số đó việc thực hiện từ “tương quan” tuyệt “mối liên hệ” là 1 trong các nhóm trường đoản cú dễ bị đọc nhầm nhất.
Về phương diện từ nguyên theo từ bỏ điển Hán - Việt: "tương" là cùng nhau, đối với nhau còn "quan" là bao gồm liên hệ, dính dáng tới nhau; "liên" là ngay thức thì với nhau cùng "hệ" là buộc lại với nhau (2). Điều này vô hình dung trung làm cho nhầm lẫn, lây lan từ vắt hệ này tới chũm hệ khác. Xét về phương diện ngữ dụng, trường đoản cú "tương quan" được thực hiện trong bối cảnh đối chiếu cụ thể, lấy ví dụ như như: "tương quan liêu lực lượng", nghĩa là ngoại trừ chỉ ra được mối liên hệ giữa hai đối tượng người dùng cần so sánh ta còn đề nghị chỉ ra được sự cân đối về những chiều cạnh hoàn toàn có thể đo đếm được. Các chiều cạnh đó thường được đọc là những đặc tính số học, tức là các tinh tướng định lượng của vật dụng thể
Các tài liệu thực hiện tiếng Anh áp dụng từ "correlation" lúc muốn tính toán mối contact giữa hai biến hóa định lượng (các biến thường xuyên và đổi thay thứ bậc), tự này trong giờ đồng hồ Việt được dịch là "tương quan". Vị đó, trường hợp gạt qua lớp vỏ hình hài từ để bước vào nội hàm của chúng, ta sẽ rõ ràng được một cách đúng đắn thuật ngữ làm sao được áp dụng theo nghĩa tương đương ở một ngôn ngữ khác. Xét về khía cạnh hình thức, hai thuật ngữ "relationship" cùng "correlation" giống nhau khi nói về sự liên quan tiền qua lại thân hai biến, sự khớp ứng với quý hiếm của trở thành này là quý hiếm của một vươn lên là khác - tuy nhiên điều này chưa đúng về mặt bản chất của dữ liệu..
Bạn đang xem: Phân tích tương quan là gì
Phân biệt nhị khái niệm
Phân tích mối liên hệ (association tốt relation) là một thuật ngữ chỉ về mối quan hệ giữa các biến trong so sánh nghiên cứu. Việc sử dụng từ "mối liên hệ" cũng bàn mang đến một mối quan hệ không yên cầu sự giám sát có độ đúng đắn cao (3). Theo phong cách diễn giải thông thường nhất, thuật ngữ “mối liên hệ” hoàn toàn có thể được sử dụng cho tất cả hai trở thành định tính với định lượng.
Phân tích tương quan (correlation analysis) là 1 nhóm những kĩ thuật cần sử dụng để đo lường và tính toán mức độ tương tác giữa những biến (4). So sánh tương quan là một trường hợp quan trọng của so với mối liên hệ. đối sánh tương quan bàn về quánh thù có thể đo lường (measure) vào mối liên hệ giữa các biến ở bài toán sự biến đổi giá trị của trở thành này sẽ gây nên ảnh hưởng tới sự biến hóa và phân bố phần trăm của biến hóa kia (5).
Ảnh 2: Biểu vật dụng phân tán (scatter plot) - dạng biểu đồ gia dụng minh họa mối tương quan tuyến tính thân hai biến.
Phân tích đối sánh tương quan chỉ áp dụng cho các biến định lượng và vấn đề phân tích dạng này được bàn tới ít nhất ba yếu đuối tố quan trọng đặc biệt trong mối liên hệ giữa những biến được viết tắt vào 3 chữ “S - T - D”
Trong đó:
“S” = "Strength" : độ táo tợn hoặc yếu đuối của đối sánh tương quan đó (căn cứ vào hệ số đối sánh tương quan mẫu, theo thông tin được biết với kí hiệu “r")
“T” = "Type": dạng đối sánh tương quan giữa những biến, gồm: đối sánh tương quan tuyến tính (linear correlation) và đối sánh phi tuyến (nonlinear correlation)
“D” = "Direction" : hướng của tương quan, gồm: đối sánh thuận (positive, r > 0
Ảnh 3: Từ trái qua phải: đối sánh tương quan tuyến tính nghịch (r = -1), không tương quan (r = 0) và đối sánh tuyến tính thuận (r = 1)
Độ mạnh mẽ / yếu hèn của một mọt tương quan được biểu lộ qua hệ số đối sánh tương quan (r) - là 1 trong những con số nằm trong đoạn < -1; 1 > sử dụng để thống kê giám sát mức độ đối sánh tương quan tuyến tính giữa đổi mới X với Y (6). Quý giá của r bộc lộ cho độ dạn dĩ yếu, dạng với phương hướng của mối đối sánh tương quan giữa những biến. Trong nghiên cứu và phân tích thống kê, r chỉ với hệ số đối sánh tương quan của mẫu (sample) còn hệ số tương quan của tổng thể (population) thường được ký hiệu là p. Và p(X,Y) là hệ số tương quan định hướng của toàn thể các phần tử trong toàn diện (7).
Bên cạnh đấy, loại gọi là độ dũng mạnh yếu giỏi phương hướng của mối đối sánh tương quan còn được miêu tả qua những con số cùng trên hệ trục tọa độ, vì thế phân tích đối sánh tương quan chỉ vận dụng phân tích mối tương tác trên các biến định lượng.
Nếu trên biến chuyển định danh, bạn nghiên cứu rất có thể dễ dàng chỉ ra sự khác hoàn toàn giữa những biến (A =/= B), thì những biến lắp thêm bậc chất nhận được đo lương được sự phân cung cấp giữa những biến (A > B, B "Nghề B" (với nghề là biến đổi định tính, thực hiện thang đo định danh (nominal scale) là không tồn tại căn cứ toán học, nhưng mà chỉ bao gồm "Thu nhập nghề A" > "Thu nhập nghề B" (trong đó thu nhập cá nhân là đổi mới định lượng, áp dụng thang lắp thêm bậc (ordinal), thang khoảng tầm (range), thang tỉ trọng (ratio) hoặc dễ dàng là "nghề A" =/= "nghề B".
Như vậy, vấn đề diễn giải tài liệu theo dạng: “giới tính và công việc và nghề nghiệp có tương quan với nhau” là chưa đúng mực về mặt phiên bản chất. Vì chưng cả hai biến “nghề nghiệp” cùng “giới tính” phần lớn là trở thành định tính, vì đó, họ cần diễn giải theo phong cách khác, ví dụ như như: “giới tính và nghề nghiệp có mối liên hệ có ý nghĩa thông kê cùng với nhau”.
Tất nhiên, câu hỏi có hay không mối đối sánh tương quan có ý nghĩa thống kê sẽ còn được còn căn cứ vào việc thiết lập cấu hình và bác bỏ trả thuyết (hypothesis) trong kiểm định mối contact giữa các biến. Tuy nhiên, số lượng giới hạn của nội dung bài viết này chỉ hướng đến việc minh bạch khái niệm để diễn giải đúng vậy nên những nội dung liên quan sẽ được trình bày trong một bài viết khác nghỉ ngơi lần sau
Kết luận:
Thứ nhất, thuật ngữ “mối liên hệ” tất cả ngoại diên rộng hơn “tương quan”. Nói bí quyết khác, hai biến hóa có đối sánh tương quan với nhau chắc hẳn rằng có mối contact với nhau; nhưng mà hai biến bao gồm mối contact chưa chắc chắn đã rất có thể có tương quan. Thứ hai, thuật ngữ "mối liên hệ" được áp dụng nói bình thường với tất cả các vươn lên là một biện pháp tương đối, nhất là biến định tính (qualitative variable); vào khi đối sánh được áp dụng cho phân tích mối contact giữa các biến định lượng (quantitative variable)Thứ ba, nếu cụm từ “mối liên hệ” chỉ nói đến việc những biến có liên quan tới nhau thì thuật ngữ “tương quan” được áp dụng để đo lường và thống kê mức độ dạn dĩ yếu, dạng và vị trí hướng của chính mối contact ấy. Phân tích đối sánh tương quan cho ra nhiều tác dụng có giá trị hơn so với so với mối tương tác thông thường.Hy vọng bài viết này sẽ góp phần nào giúp chúng ta phân biệt được hai tư tưởng cơ phiên bản trong thống kê, tự đó chỉ dẫn được bí quyết diễn giải cân xứng với yêu mong phân tích của nghiên cứu
p/s: Cám ơn Th.S Nguyễn Hữu An cỗ môn thống trị Xã hội, khoa xã hội học và Công tác thôn hội, Đại học Khoa học, ĐH Huế đã có rất nhiều góp ý trân quý cho nội dung bài viết này
----
* Chú thích:<1> Nguyễn Sum, "Thống kê làng mạc hội học", NXB Phú Xuân (2009), trg. 158
<2> Howard Fields, "Difference Between Correlation và Association". Nguồn: http://www.differencebetween.net/language/words-language/difference-between-correlation-and-association/
<3> Nguyễn Lân, "Từ điển Hán - Việt", NXB Văn học tập (2007), trg. 817 cùng 403
<4> Lind, Marchal & Wathen, "Statistical technique in Business", Mc Graw Hill (2008), trg. 459
<5> Đặng Hùng Thắng, Trần khỏe khoắn Cường, "Thống kê mang đến khoa học tập Xã hội và công nghệ sự sống", NXB Đại học tập QGHN (2019), trg. 215
<7> Đặng Hùng Thắng, Trần to gan Cường, "Thống kê mang đến khoa học Xã hội và công nghệ sự sống", NXB Đại học tập QGHN (2019), trg. 218
Phân tích tương quan Pearson r (cung cung cấp một hệ số đối sánh tương quan Pearson, được ký hiệu là r) là thước đo độ mạnh của mối liên kết tuyến tính thân hai biến. Về cơ bản, sự tương quan Pearson cố gắng vẽ một đường cân xứng nhất trải qua dữ liệu của hai phát triển thành và hệ số đối sánh Pearson, r, cho thấy thêm khoảng cách tất cả các điểm dữ liệu này đến đường tương xứng nhất này (tức là các điểm tài liệu này tốt như ráng nào với quy mô / đường mới cân xứng nhất).
1. Lúc nào sử dụng?
Phân tích đối sánh Pearson, r, rất có thể được thực hiện làm cầu lượng mẫu cho tương quan dân số, ρ (rho). Nó là một trong chỉ số không có thứ nguyên về mối quan hệ tuyến tính thân hai biến hóa ngẫu nhiên, giá bán trị bởi 0 có nghĩa là không có quan hệ tuyến tính giữa những biến cùng giá trị bằng 1 cho biết mối quan tiền hệ đường tính hoàn hảo. Nếu như mối tương quan là âm, tức là giá trị tăng trên một biến chuyển được kết hợp với giá trị giảng trên trở thành kia. Quý hiếm của r có thể thay đổi giữa −1 với +1 bất kể kích thước đo lường và tính toán của nhị biến.
Tương quan tiền Pearson, r, bắt buộc được xem là một thống kê biểu hiện (descriptive statistic) khi 1 nhà nghiên cứu và phân tích muốn định lượng cường độ của mối quan hệ tuyến tính giữa những biến. Một tương quan tham số sẽ thích hợp bất cứ lúc nào các phép đo định lượng được triển khai đồng thời trên hai hoặc nhiều biến, quan hệ giữa hai phát triển thành là đường tính và cả hai vươn lên là đều được cung cấp chuẩn. Những mối đối sánh tương quan phải luôn được chất vấn trước khi thực hiện các phân tích đa biến tinh vi hơn, ví dụ như phân tích nhân tố (factor analysis) hoặc so sánh thành phần chủ yếu (principal component analysis). Cường độ của quan hệ tuyến tính giữa hai biến đổi số rất có thể khó đánh giá từ biểu vật dụng phân tán và hệ số tương quan cung ứng một bản tóm tắt gọn ghẽ hơn. Tuy nhiên, sẽ không khôn ngoan nếu nỗ lực tính toán mối đối sánh khi biểu vật phân tán diễn đạt một mối quan hệ phi tuyến tính rõ ràng. Lúc 1 nhà nghiên cứu suy nghĩ cả mức khoảng rộng và ý nghĩa của một mối đối sánh thì r được sử dụng theo cách suy diễn như một ước lượng của mối tương quan dân số, ρ (rho).
Công thức tính hệ số đối sánh tương quan Pearson vào hai trở nên x và y trường đoản cú n mẫu mã như sau:
2. Giả thuyết vô hiệu hóa và suy luận thống kê
Khi ước lượng size của mối đối sánh dân số, chúng ta cũng có thể muốn đánh giá xem nó có ý nghĩa thống kê hay không. Giả thuyết loại bỏ là H0: ρ = 0, nghĩa là, biến chuyển X không tương quan tuyến tính với đổi thay Y. Mang thuyết sửa chữa thay thế là H1: ρ ≠ 0. đưa thuyết vô hiệu là một trong những phép đánh giá xem có ngẫu nhiên mối quan hệ rõ ràng nào giữa các biến X với Y hoàn toàn có thể phát sinh một cách tình cờ hay không. Phân phối mẫu của r là không chuẩn khi đối sánh tương quan dân số lệch khỏi 0 với khi kích cỡ mẫu nhỏ tuổi (n Fisher’s z.
3. Những giả định thống kê
Trong một số trong những sách thống kê giành cho các nhà công nghệ xã hội, người ta xác định rằng để áp dụng mối đối sánh tương quan Pearson, cả hai phát triển thành phải bao gồm phân phối chuẩn, nhưng trong những văn phiên bản khác, nó bảo rằng phân phối của tất cả hai biến phải đối xứng (symmetrical) và đơn phương (unimodal) tuy nhiên không độc nhất vô nhị thiết yêu cầu chuẩn. Những chủ ý này gây sợ hãi lớn cho những nhà phân tích và cần được gia công rõ. Ví như thống kê đối sánh tương quan chỉ được áp dụng cho mục tiêu mô tả thì không quan trọng phải sử dụng các giả định chuẩn chỉnh về hình thức (form) của bày bán dữ liệu. Những giả định duy nhất được yêu ước là:
các phép đo định lượng (mức khoảng chừng hoặc mức tỷ lệ của phép đo) được thực hiện đồng thời trên nhị hoặc nhiều đổi mới ngẫu nhiên. Tức là hai biến nên được đo lường trên thang đo khoảng chừng hoặc tỷ lệ. Tuy nhiên, cả hai biến không cần phải được thống kê giám sát trên và một thang đo (ví dụ, một biến hoàn toàn có thể là xác suất và một hoàn toàn có thể là khoảng).các phép đo bắt cặp cho mỗi đối tượng (ví dụ, mọi cá nhân tham gia) là độc lập. Ví dụ, chúng ta đã thu thập thời hạn ôn tập (tính bởi giờ) và tác dụng thi (đo tự 0 mang lại 100) trường đoản cú 100 sv được mang mẫu đột nhiên tại một trường đại học (tức là chúng ta có hai biến đổi liên tục: “thời gian ôn tập” cùng “kỳ thi hiệu suất”). Mỗi cá nhân trong số 100 sinh viên sẽ sở hữu được một giá trị về thời gian ôn tập (ví dụ: “sinh viên số 1” đang học vào “23 giờ”) và tác dụng bài đánh giá (ví dụ: “sinh viên số 1” đạt “81/100”). Vày đó, các bạn sẽ có 100 cực hiếm được ghép nối.Các công dụng thu được sẽ biểu hiện mức độ mà mối quan hệ tuyến tính được áp dụng cho dữ liệu mẫu.
Ngoài ra, bắt buộc nhận xét cẩn trọng về việc sử dụng r. Đây chưa phải là hầu hết giả định chặt chẽ nhưng giữa những tình huống nghiên cứu điển hình khi r hoặc là cần được giải thích một giải pháp thận trọng, hoặc tránh việc sử dụng.
Xem thêm: Ngày 19 Tháng 8 Năm 1945 Diễn Ra Sự Kiện Gì ? Nguồn Gốc Và Ý Nghĩa
Khi phương sai của hai thước đo cực kỳ khác nhau, thường tương quan đến các phạm vi không giống nhau hoặc hoàn toàn có thể là một phạm vi số lượng giới hạn cho một biến, thì mối đối sánh tương quan mẫu đang bị hình ảnh hưởng. Ví dụ: ví như một biến chuyển bị tiêu giảm phạm vi, (một phần của phạm vi điểm số không được áp dụng hoặc không phù hợp) thì điều này sẽ sở hữu được xu hướng làm sút (thấp hơn) mối đối sánh giữa nhì biến.Khi có các giá trị nước ngoài lệ, r buộc phải được lý giải một giải pháp thận trọng.Khi các quan giáp được đem từ một đội nhóm không đồng điệu (heterogeneous). Nếu tốt nhất, dữ liệu nên là đồng duy nhất (homoscedasticity). Đồng duy nhất trong tương quan tức là các phương không nên dọc theo mặt đường của sự cân xứng nhất vẫn tương tự như khi di chuyển dọc theo đường. Nếu những phương sai rất khác nhau thì bao gồm phương sai biến đổi (hay còn gọi heteroscedasticity). Đồng tuyệt nhất (hay độ co và giãn đồng nhất) được thể hiện dễ ợt nhất bởi sơ đồ, như hình dưới đây:
4. Phân tích đối sánh tương quan Pearson r trong SPSS
Ví dụ, một nhà phân tích muốn biết liệu tác dụng kỳ thi viết cuối kì môn Toán lý giải có đối sánh tương quan với thời gian ôn tập cuối kì của các sinh viên hay không. Có 20 sinh viên được mời tham gia một cuộc thử nghiệm, kể từ khi bài học tập của môn Toán giải tích kết kết mang đến ngày thi cuối kì, họ được đề nghị khắc ghi tổng thời gian ôn bài (cộng dồn của từng ngày) dành cho môn Toán. Xong kì thi, nhà nghiên cứu và phân tích thu thập điểm số của đôi mươi sinh viên này theo thang điểm 100, với tổng vừa lòng theo bảng dưới đây.
Hai thắc mắc nghiên cứu được xem xét: i) Điểm thi viết cuối kì môn Toán giải thích có liên quan tuyến tính với khoảng thời gian ôn tập của các sinh viên giỏi không? và ii) số giờ ôn tập của những sinh viên có tương quan tuyến tính với điểm thi viết cuối kì môn Toán phân tích và lý giải hay không?
Các bước tiếp sau đây hướng dẫn chúng ta cách phân tích tương quan Pearson r trong thống kê SPSS.
– bước 1: khám nghiệm biểu trang bị phân tán tế bào tả quan hệ giữa nhì biến. Xin sung sướng đọc bài xích cách vẽ biểu vật dụng phân tán. Hiệu quả vẽ biểu đồ vật phân tán được trình diễn trong hình bên dưới đây.
Nhận xét: Biểu vật dụng scatter thân Điểm thi và Ôn tập gợi ý xu hướng ngay sát đúng tuyến đường tính, nhưng lại cỡ mẫu là nhỏ tuổi để quan tiền sát cụ thể một đường tuyến tính. Vào thực tế, chúng ta cần một cỡ mẫu khủng hơn, ít nhất n > 30. Biểu đồ này cũng cho biết một quan sát ngoại lệ rất ví dụ (điểm gần quý hiếm 4 ngơi nghỉ trục hoành).
– cách 2: khi biểu đồ phân tán dự kiến mối quan lại hệ đường tính, họ tiến hành phân tích đối sánh Pearson r. Click Analyze-> Correlate -> Bivariate…
– bước 3: Trong hộp thoại Bivariate Correlations, họ chuyển các biến yêu cầu kiểm tra tương quan với nhau vào vỏ hộp Variables. Chăm chú check vào vỏ hộp Pearson vào vùng Correlation Coefficients. Tiếp đến nhấp OK để chạy kết quả.
Phân tích kết quả:
Bảng Correlations trình bày hệ số tương quan Pearson r, giá chỉ trị chân thành và ý nghĩa p của chính nó và kích thước mẫu được tính toán. Trong lấy một ví dụ này, chúng ta có thể thấy rằng hệ số đối sánh tương quan Pearson, r, là 0.78 với nó có ý nghĩa thống kê (p = 0.000).
Chúng ta rất có thể viết report rằng, một tương quan Pearson đã có chạy để xác minh mối quan lại hệ con đường tính thân Điểm thi viết cuối kì môn Toán giải thích và số giờ ôn tập của các sinh viên. Kết quả cho biết thêm có mối đối sánh thuận thân Điểm thi viết cuối kì môn Toán giải thích và thời gian ôn tập của những sinh viên (r = 0.780, n = 20, phường = 0.000).
– cách 4: Kiểm tra ý nghĩa sâu sắc của hệ số đối sánh r
Một khi mối đối sánh đã được xem toán, công ty nghiên cứu có thể muốn biết kỹ năng xảy ra mối đối sánh thu được này như vậy nào, nghĩa là, đây có phải là sự xuất hiện tình cờ hay nó thay mặt cho mối tương quan dân số xứng đáng kể?
Để tiến hành việc này, r được gửi đổi, và xác suất của điều khoản ước lượng này dựa trên phân phối mẫu mã của những thống kê t (t-statistic). bởi vì đó, ý nghĩa của một hệ số đối sánh tương quan Pearson thu được được đánh giá bằng phương pháp sử dụng phân phối t (t-distribution) với n − 2 bậc thoải mái (df) cùng được cho do phương trình sau:
Giả thuyết vô hiệu được kiểm định là hai biến độc lập, có nghĩa là không có mối quan hệ tuyến tính giữa chúng, H0: ρ = 0. đưa thuyết sửa chữa thay thế là, H1: ρ ≠ 0.
Để vấn đáp câu hỏi, gồm mối tương quan đáng đề cập nào, tại mức 5%, giữa điểm Điểm thi viết cuối kì môn Toán lý giải và thời gian ôn tập của những sinh viên không? t sẽ tiến hành tính như sau:
Tra bảng cho tới hạn của quý hiếm t (critical t-value) thu giá tốt trị là 2.101. Thống kê khám nghiệm t là vượt quá giá trị tới hạn này, (5.433 > 2.101), và cho nên giả thuyết vô hiệu hóa bị chưng bỏ. Họ kết luận rằng mối đối sánh có ý nghĩa sâu sắc ở nấc 5%.
– bước 5: khám nghiệm khoảng tin tưởng của hệ số tương quan r
Khoảng tin tưởng là dựa vào một sự đổi khác thống kê r thành thống kê Fisher’s z. Điều này không giống hệt như độ lệch Z (Z-deviate) so với phân phối chuẩn chỉnh (đôi khi được gọi là điểm Z). Để diễn giải khoảng chừng tin cậy, điểm số Fisher’s z đề nghị được chuyển đổi trở lại số liệu tương quan. Fisher’s z được đánh giá là:
Khoảng tin tưởng (95%) cho mối tương quan lưỡng đổi thay giữa Điểm thi viết cuối kì môn Toán giải thích và số giờ ôn tập của các sinh viên được xem bằng công thức:
Công thức chuyển đổi Fisher’s Z được quan niệm là:
Áp dụng các công thức trong ví dụ như (với r = 0.78), ta có:
Khoảng tin cậy (95%):
= 0.57 đến 1.52
Các quý giá này bây chừ phải được chuyển đổi trở lại số liệu ban đầu.
Nhận xét: chúng ta có thể kết luận rằng chúng ta chắc chắn 95% rằng mối đối sánh dân số là dương cùng nằm trong khoảng 0.515 mang đến 0.909. Khoảng tin yêu này không bao gồm giá trị 0, điều này cho biết mối tương quan có ý nghĩa sâu sắc thống kê ở tầm mức 5%.
