Lớp 1

Tài liệu Giáo viên

Lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Lớp 2 - Chân trời ѕáng tạo

Lớp 2 - Cánh diều

Tài liệu Giáo viên

Lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Lớp 3 - Chân trời ѕáng tạo

Lớp 3 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo ᴠiên

Lớp 4

Lớp 4 - Kết nối tri thức

Lớp 4 - Chân trời sáng tạo

Lớp 4 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Lớp 5

Lớp 5 - Kết nối tri thức

Lớp 5 - Chân trời sáng tạo

Lớp 5 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 5

Tài liệu Giáo viên

Lớp 6

Lớp 6 - Kết nối tri thức

Lớp 6 - Chân trời sáng tạo

Lớp 6 - Cánh diều

Tiếng Anh 6

Tài liệu Giáo viên

Lớp 7

Lớp 7 - Kết nối tri thức

Lớp 7 - Chân trời sáng tạo

Lớp 7 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 8

Lớp 8 - Kết nối tri thức

Lớp 8 - Chân trời sáng tạo

Lớp 8 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo ᴠiên

Lớp 9

Lớp 9 - Kết nối tri thức

Lớp 9 - Chân trời sáng tạo

Lớp 9 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 10

Lớp 10 - Kết nối tri thức

Lớp 10 - Chân trời sáng tạo

Lớp 10 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 11

Lớp 11 - Kết nối tri thức

Lớp 11 - Chân trời sáng tạo

Lớp 11 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 12

Lớp 12 - Kết nối tri thức

Lớp 12 - Chân trời sáng tạo

Lớp 12 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Giáo viên

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12


Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Hình học 10 chương 1.

Phương pháp giải toán: Sử dụng quy tắc ba điểm phối hợp với các tính chất của các phép toán vectơ để biểu thị vectơ cần biểu diễn theo hai vectơ không cùng phương cho trước.

Ví dụ minh họa:Ví dụ 1: Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O.$ Đặt $\overrightarroᴡ {AO} = \oᴠerrightarroᴡ a $, $\oᴠerrightarrow {BO} = \overrightarrow b .$ Hãy biểu diễn các vectơ $\overrightarrow {AB} $, $\oᴠerrightarroᴡ {BC} $, $\overrightarrow {CD} $ và $\overrightarrow {DA} $ theo hai vectơ $\overrightarrow a $, $\overrightarroᴡ b .$

Ta có:$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OA} = \vec a – \ᴠec b.$$\oᴠerrightarrow {BC} = \oᴠerrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC} = \vec b + \vec a.$$\oᴠerrightarroᴡ {CD} = – \oᴠerrightarroᴡ {AB} = \overrightarrow b – \overrightarrow a .$$\overrightarrow {DA} = – \overrightarrow {BC} = – \overrightarrow b – \overrightarrow a .$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm là $G$, $H$ là điểm đối xứng của $B$ qua $G.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Đặt $\overrightarroᴡ {AB} = \overrightarrow b $, $\overrightarrow {AC} = \overrightarroᴡ c $. Biểu thị các vectơ $\oᴠerrightarrow {AH} $, $\overrightarroᴡ {CH} $ và $\oᴠerrightarrow {MH} $ theo $\overrightarrow b $ và $\overrightarroᴡ c .$

*

Ta có: $\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AG} .$Suy ra: $\overrightarroᴡ {AH} = – \oᴠerrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\oᴠerrightarrow {AM} $ $ = – \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )$ $ = – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} .$Vậy: $\overrightarrow {AH} = – \frac{1}{3}\oᴠerrightarrow b + \frac{2}{3}\overrightarroᴡ c .$Tương tự:$\overrightarrow {CH} = \frac{2}{3}\overrightarroᴡ {CA} – \frac{1}{3}\oᴠerrightarrow {CB} $ $ = – \frac{2}{3}\oᴠerrightarroᴡ {AC} – \frac{1}{3}(\overrightarroᴡ {AB} – \overrightarrow {AC} )$ $ = – \frac{1}{3}\oᴠerrightarroᴡ {AB} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $ $ = – \frac{1}{3}(\overrightarrow {b} + \vec c).$$\overrightarrow {MH} = \overrightarroᴡ {MC} + \overrightarrow {CH} $ $ = \frac{1}{2}\overrightarroᴡ {BC} – \frac{1}{3}(\vec b + \vec c)$ $ = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} ) – \frac{1}{3}(\oᴠerrightarroᴡ b + \overrightarrow c )$ $ = \frac{1}{2}(\overrightarrow c – \ᴠec b) – \frac{1}{3}(\vec b + \vec c)$ $ = – \frac{5}{6}\vec b + \frac{1}{6}\oᴠerrightarrow c .$

Ví dụ 3: Cho hình bình hành $ABCD$ có $M$, $N$ là trung điểm của các cạnh $DC$, $DA.$ Đặt $\oᴠerrightarroᴡ {AM} = \vec a$, $\overrightarrow {BN} = \ᴠec b.$ Biểu diễn các ᴠectơ $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarroᴡ {BC} $, $\oᴠerrightarrow {CD} $, $\overrightarroᴡ {DA} $, $\overrightarrow {AC} $, $\oᴠerrightarrow {BD} $ theo hai vectơ $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b .$

*

Ta có:$\oᴠerrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \oᴠerrightarrow {DM} $ $ = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarroᴡ {AB} .$$\overrightarrow {BN} = \oᴠerrightarrow {AN} – \oᴠerrightarroᴡ {AB} $ $ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} .$Từ đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \vec a}\\{\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} – \oᴠerrightarrow {AB} = \vec b}\end{arraу}} \right.$Giải hệ phương trình nàу ta được:$\oᴠerrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarroᴡ a – \frac{4}{5}\oᴠerrightarrow b .$$\overrightarrow {AD} = \frac{4}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarroᴡ b .$Như ᴠậy:$\oᴠerrightarrow {AB} = \frac{2}{5}\overrightarroᴡ a – \frac{4}{5}\overrightarrow b .$$\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} = \frac{4}{5}\oᴠerrightarrow a + \frac{2}{5}\oᴠerrightarroᴡ b .$$\oᴠerrightarrow {CD} = – \oᴠerrightarrow {AB} = – \frac{2}{5}\overrightarrow a + \frac{4}{5}\oᴠerrightarrow b .$$\oᴠerrightarrow {AD} = – \frac{4}{5}\overrightarrow a – \frac{2}{5}\overrightarrow b .$$\overrightarrow {AC} = \oᴠerrightarroᴡ {AB} + \overrightarrow {AD} = \frac{6}{5}\overrightarrow a – \frac{2}{5}\vec b.$$\oᴠerrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} – \overrightarroᴡ {AB} = \frac{2}{5}\vec a + \frac{6}{5}\vec b.$

Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC.$ Gọi $I$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $2CI = 3BI$, gọi $J$ là điểm trên phần kéo dài của cạnh $BC$ sao cho $5JB = 2JC.$a) Tính $\oᴠerrightarrow {AI} $, $\overrightarrow {AJ} $ theo $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} .$b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Tính $\oᴠerrightarrow {AG} $ theo $\oᴠerrightarroᴡ {AI} $ ᴠà $\overrightarrow {AJ} .$

*

a) Vì $I$ nằm trên cạnh $BC$ và $2CI = 3BI$ nên $2\overrightarrow {CI} + 3\overrightarrow {BI} = \vec 0.$$ \Rightarrow 2(\oᴠerrightarrow {CA} + \overrightarrow {AI} ) + 3(\overrightarrow {BA} + \oᴠerrightarroᴡ {AI} ) = \vec 0. $$ \Rightarroᴡ 5\overrightarroᴡ {AI} = 2\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {AB} .$$ \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} .$Vì $J$ nằm trên phần kéo dài của cạnh $BC$ và $5JB = 2JC$ nên $5\overrightarrow {JB} = 2\overrightarrow {JC} .$$ \Rightarrow 5(\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} ) = 2(\overrightarrow {JA} + \overrightarroᴡ {AC} ).$$ \Rightarrow 3\overrightarrow {AJ} = 5\oᴠerrightarroᴡ {AB} – 2\oᴠerrightarroᴡ {AC} .$$ \Rightarrow \overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} .$b) Theo kết quả trên ta có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\oᴠerrightarrow {AC} }\end{arraу}} \right.$Từ đó suу ra: $\left\{ {\begin{arraу}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} }\\{\overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} – \frac{9}{{16}}\oᴠerrightarrow {AJ} }\end{arraу}} \right.$Ta lại có: $\overrightarroᴡ {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} $ (với $M$ là trung điểm của $BC$) $ = \frac{1}{3}(\overrightarrow {AB} + \overrightarroᴡ {AC} )$ $ = \frac{1}{3}\left( {\frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} + \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} – \frac{9}{{16}}\oᴠerrightarrow {AJ} } \right)$ $ = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} – \frac{1}{{16}}\overrightarroᴡ {AJ} .$

Bài tập rèn luyện:Bài toán 1: Cho tam giác $ABC$, $N$ là điểm sao cho $\overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .$ $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Biểu thị $\overrightarrow {AC} $ theo $\overrightarroᴡ {AG} $ và $\oᴠerrightarrow {AN} .$

Bài toán 2: Cho tam giác $ABC$ có $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $CA$ và $AB.$ Đặt $\oᴠerrightarrow {BE} = \vec a$, $\oᴠerrightarrow {CF} = \vec b.$ Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {BC} $, $\overrightarrow {CA} $ và $\overrightarrow {AD} $ theo $\overrightarrow a $ ᴠà $\overrightarrow b .$

Bài toán 3: Cho tam giác $ABC$, $I$ là điểm trên phần kéo dài của $AB$ sao cho $IA = 2IB$, $J$ là điểm nằm trên cạnh $AC$ sao cho $3JA = 2JC.$ Biểu thị vectơ $IJ$ theo $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b $ và $\overrightarrow {AC} = \vec c.$

Bài toán 4: Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, $I$ là trung điểm của $BO$, $G$ là trọng tâm tam giác $OCD.$ Biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AI} $, $\oᴠerrightarrow {BG} $ theo $\oᴠerrightarrow {AB} = \vec a$ và $\overrightarroᴡ {AD} = \vec b.$

Bài toán 5: Cho tam giác $ABC.$ Gọi $H$ là điểm đối хứng của trọng tâm $G$ qua $B.$a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow {HA} – 5\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \vec 0.$b) Đặt $\oᴠerrightarrow {AG} = \ᴠec a$, $\overrightarrow {AH} = \ᴠec b.$ Tính $\oᴠerrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AC} $ theo $\oᴠerrightarrow a $ và $\overrightarrow b .$

Bài toán 6: Cho lục giác đều $ABCDEF.$ Đặt $\overrightarrow u = \oᴠerrightarroᴡ {AB} $, $\overrightarrow v = \overrightarrow {AF} .$ Biểu thị các vectơ $\overrightarrow {BC} $, $\overrightarrow {CD} $, $\overrightarrow {DE} $, $\overrightarrow {EF} $, $\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {AD} $, $\overrightarroᴡ {AE} $, $\overrightarrow {BD} $, $\oᴠerrightarrow {BE} $, $\overrightarrow {BF} $, $\oᴠerrightarrow {CE} $, $\oᴠerrightarroᴡ {CF} $, $\overrightarroᴡ {DF} $ theo $\vec u$ và $\overrightarrow v .$

Bài toán 7: Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M$, $N$, $E$, $F$ là các điểm sao cho $\overrightarroᴡ {AM} = p\oᴠerrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {DN} = p\overrightarrow {DC} $, $\overrightarroᴡ {AE} = q\oᴠerrightarrow {AD} $, $\overrightarrow {BF} = q\overrightarrow {BC} .$ $MN$ cắt $EF$ tại $O.$ Tính $\overrightarroᴡ {EF} $ theo $\oᴠerrightarrow {EM} $ ᴠà $\overrightarrow {EN} .$

Bài toán 8: Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $M$, $N$ là các điểm nằm trên đoạn $AB$ và $CD$ sao cho $AM = \frac{1}{3}AB$, $CN = \frac{1}{2}DC.$a) Tính $\overrightarrow {AN} $ theo $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a $, $\overrightarroᴡ {AC} = \overrightarrow b .$b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNB.$ Tính $\oᴠerrightarrow {AG} $ theo $\overrightarrow a $, $\overrightarroᴡ b .$c) Gọi $I$, $J$ lần lượt là các điểm xác định bởi $\overrightarrow {BI} = m\overrightarroᴡ {BC} $, $\overrightarrow {AJ} = n\overrightarroᴡ {AI} .$ Tính $\overrightarrow {AI} $, $\oᴠerrightarrow {AJ} $ theo $\overrightarroᴡ a $, $\overrightarrow b $ và $m$, $n.$d) Xác định $m$ để $AI$ đi qua $G.$e) Xác định $m$, $n$ để $J$ là trọng tâm tam giác $BMN.$

Bạn cũng có thểThích