Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPmùi hương pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng biệt và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp cho n được Gọi là ma trận đơn vị ví như A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n

Ta nhận biết ma trận bên trên là vĩnh cửu. Thật vậy, ma trận thỏa ĐK bên trên tất cả dạng sau:


*
" data-medium-file="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=173" data-large-file="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=173" class="size-full wp-image-1098" title="mtnd1" src="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=750" alt="Ma tr�n đơn vị chức năng cấp cho n" srcset="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd1.jpg 173w, https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=150 150w" sizes="(max-width: 173px) 100vw, 173px" />Ma trận đơn vị cấp cho n


Bên cạnh đó, ma trận đơn vị chức năng là duy nhất. Thật vậy, trả sử bao gồm nhì ma trận đơn vị chức năng I cùng I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị chức năng buộc phải I.I’ = I’.I = I’

cùng I’ là ma trận đơn vị bắt buộc I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một ma trận vuông cấp cho n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, ví như trường tồn một ma trận B vuông cung cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi kia, B được Gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.

Bạn đang xem: Cách tính ma trận nghịch đảo

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là tuyệt nhất, vì trả sử mãi sau ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức thị A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, bây giờ, có không ít giáo trình nước ngoài sẽ đề cùa tới có mang khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Lúc kia, ta bảo A là khả nghịch trái nếu lâu dài ma trận L cung cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải giả dụ sống thọ ma trận R cung cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, đương nhiên A khả nghịch ví như A khả nghịch trái cùng khả nghịch nên.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.

5. Tập thích hợp các ma trận vuông cung cấp n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:

*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch cùng A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C không khả nghịch do với mọi ma trận vuông cung cấp 2 ta các có:

*
Nhận xét: Ma trận gồm tối thiểu 1 loại ko (hoặc cột không) phần đa ko khả nghịch.

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch với (AT)-1= (A-1)T

(quý khách hãy thừ chứng minh kết quả bên trên nhé)

3. Mối quan hệ tình dục thân ma trận khả nghịch với ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được Điện thoại tư vấn là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) giả dụ E nhận được tự ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phép biến hóa sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cung cấp cái xuất xắc cột call phổ biến là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cung cấp chiếc (xuất xắc cột) rất nhiều khả nghịch cùng nghịch hòn đảo của nó lại là một ma trận sơ cung cấp mẫu.

Ta rất có thể bình chọn trực tiếp công dụng trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị với α ≠ 0


*
" data-medium-file="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=300" data-large-file="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=542" class="size-full wp-image-1109" title="mtnd4" src="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cấp dạng 1" srcset="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd4.jpg 542w, https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=150 150w, https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 542px) 100vw, 542px" />Ma trận sơ cấp dạng 1


*
" data-medium-file="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300" data-large-file="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=524" class="size-full wp-image-1110" title="mtnd5" src="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cung cấp dạng 2" srcset="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd5.jpg 524w, https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=150 150w, https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 524px) 100vw, 524px" />Ma trận sơ cấp cho dạng 2


*
" data-medium-file="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300" data-large-file="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=326" class="size-full wp-image-1112" title="mtnd6" src="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cung cấp dạng 3" srcset="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd6.jpg 326w, https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=150 150w, https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 326px) 100vw, 326px" />Ma trận sơ cung cấp dạng 3


3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). khi đó, các xác định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận được từ A do một vài hữu hạn những phxay đổi khác sơ cung cấp cái (cột)

3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp

(quý khách hàng gọi có thể coi minh chứng định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). khi kia, các xác minh sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch Lúc còn chỉ lúc dạng bao gồm tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận ra tự A vì một vài hữu hạn các phép đổi khác sơ cấp loại (cột); đôi khi, chủ yếu hàng những phép biến đổi sơ cấp mẫu (cột) này sẽ biến hóa In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch hòn đảo bởi phxay biến đổi sơ cấp:

Ta sử dụng thuật tân oán Gausβ – Jordan để tìm nghịch hòn đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật tân oán này được xây đắp nhờ vào tác dụng thứ hai của hệ quả 3.4. Ta triển khai quá trình sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghnghiền thêm ma trận đơn vị cấp n I vào mặt bắt buộc ma trận A


*
" data-medium-file="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300" data-large-file="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=333" class="size-full wp-image-1115" title="mtnd7" src="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=750" alt="L�p ma tr�n đưa ra kân hận cấp cho n x 2n" srcset="https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd7.jpg 333w, https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=150 150w, https://suviec.com.files.suviec.com.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 333px) 100vw, 333px" />Lập ma trận bỏ ra kân hận cấp cho n x 2n


Bước 2: Dùng những phxay thay đổi sơ cấp dòng để mang < A|I > về dạng < A’ | B >, trong số ấy A’ là 1 trong ma trận cầu thang chính tắc.

Xem thêm: Nêu Khái Niệm Nhịp 2/4 Và Lấy Ví Dụ, Khái Niệm Nhịp 2/4

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch với A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, vào quy trình biến hóa trường hợp A’ xuất hiện ít nhất 1 mẫu không thì lập tức Tóm lại A không khả nghịch (không cần phải gửi A’ về dạng chủ yếu tắc) với hoàn thành thuật toán.

ví dụ như minc họa: Sử dụng thuật tân oán Gausβ – Jordan để search ma trận nghịch đảo của: