Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương thơm pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng rẽ và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp cho n được Điện thoại tư vấn là ma trận đơn vị chức năng ví như A.I = I.A = A, với đa số ma trận vuông A cấp cho n

Ta nhận biết ma trận bên trên là mãi sau. Thật vậy, ma trận thỏa ĐK bên trên bao gồm dạng sau:


*

Ma trận đơn vị chức năng cung cấp n

Trong khi, ma trận đơn vị chức năng là độc nhất vô nhị. Thật vậy, trả sử bao gồm nhì ma trận đơn vị I với I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị đề xuất I.I’ = I’.I = I’

với I’ là ma trận đơn vị đề nghị I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là 1 trong những ma trận vuông cấp cho n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu như trường thọ một ma trận B vuông cấp cho n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được Call là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.quý khách hàng đã xem: Ma trận nghịch đảo 4x4

Nlỗi vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là độc nhất vô nhị, bởi mang sử sống thọ ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện thời, có khá nhiều giáo trình nước ngoài sẽ đề cùa đến định nghĩa khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Bạn đang xem: Cách tìm ma trận nghịch đảo

Thật vậy, mang lại A là ma trận cấp cho m x n bên trên trường số K. Lúc đó, ta bảo A là khả nghịch trái giả dụ vĩnh cửu ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải giả dụ mãi mãi ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, tất nhiên A khả nghịch ví như A khả nghịch trái và khả nghịch phải.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận ko không khả nghịch.

5. Tập đúng theo các ma trận vuông cấp cho n bên trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch cùng A là nghịch đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch bởi vì với mọi ma trận vuông cung cấp 2 ta phần đa có:


*

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch cùng (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch và (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ minh chứng hiệu quả trên nhé)

3. Mối quan hệ giới tính giữa ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2) được Hotline là ma trận sơ cấp dòng (cột) giả dụ E nhận được tự ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép biến hóa sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp dòng tốt cột Điện thoại tư vấn bình thường là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp cho cái (hay cột) đông đảo khả nghịch cùng nghịch đảo của nó lại là 1 trong ma trận sơ cấp chiếc.

Ta có thể khám nghiệm trực tiếp tác dụng bên trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp cho dạng 1: nhân 1 loại của ma trận đơn vị chức năng cùng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 1


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 2


Ma trận sơ cấp cho dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2). lúc đó, các xác minh sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận ra từ bỏ A do một số trong những hữu hạn các phxay biến đổi sơ cấp cho cái (cột)

3. A là tích của một số trong những hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Quý khách hàng gọi có thể xem chứng tỏ định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2). Lúc đó, những khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch lúc còn chỉ Khi dạng thiết yếu tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In cảm nhận từ bỏ A bởi vì một trong những hữu hạn những phxay đổi khác sơ cung cấp dòng (cột); đồng thời, bao gồm dãy những phxay biến hóa sơ cung cấp cái (cột) này sẽ trở nên In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tra cứu ma trận nghịch hòn đảo bằng phép chuyển đổi sơ cấp:

Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tìm nghịch hòn đảo (trường hợp có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này được thi công nhờ vào tác dụng thứ 2 của hệ trái 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghnghiền thêm ma trận đơn vị chức năng cấp cho n I vào mặt cần ma trận A


Lập ma trận chi khối hận cấp cho n x 2n

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp cho dòng để đưa về dạng , trong các số ấy A’ là một trong những ma trận bậc thang chủ yếu tắc.

Xem thêm: Lịch Chiếu Phim Rạp Lotte Mart Quận 7, Lịch Chiếu Phim Rạp Galaxy Huỳnh Tấn Phát

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch với A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình thay đổi ví như A’ mở ra ít nhất 1 chiếc không thì lập tức Tóm lại A ko khả nghịch (không cần phải đưa A’ về dạng bao gồm tắc) và chấm dứt thuật toán.

ví dụ như minc họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo của: