Trong lịch trình toán THPT, những em sẽ được thiết kế quen với dạng bài bác về phương trình lượng giác thường xuyên gặp. Bài viết dưới trên đây Vuihoc.vn vẫn tổng hợp đầy đủ về phương trình lượng giác thường chạm mặt cùng lấy ví dụ như minh họa giúp những em hiểu bài bác nhanh hơn.



1. Phương trình hàng đầu đối với hàm con số giác sinx cùng cosx

Phương trình hàng đầu với một trong những hàm số lượng giác gồm dạng phương trình như sau:

at+b=0

Trong đó:

+ a,b: hằng số (a≠0)

+ t: một trong số hàm số lượng giác

Phương trình lượng giác dạng:

asinx+bcosx=c

Trong đó: bao gồm a,b,c cùng thuộc R, $a^2+b^2 eq 0$là phương trình hàng đầu với sin⁡x cùng cos⁡x.

Bạn đang xem: Cách kết luận phương trình lượng giác

Ta xét:

+ nếu như $a^2+b^2

+ nếu $a^2+b^2geqslant c^2$, để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp quá trình sau.

Với phương trình số 1 đối với hàm số lượng giác sinx cùng cosx, ta xét phương trình asinx+bcosx=c

Lúc này:

+ Ta phân chia 2 vế của phương trình đến $sqrta^2+b^2$

+ call $alpha$ là góc lượng giác được tạo ra bởi chiều dương của trục hoành cùng với vectơ $vecOM=(a,b)$, phương trình trở thành:

$sin(x+alpha )=fraccsqrta^2+b^2$(1)

Điều khiếu nại phương trình gồm nghiệm:

$left | fraccsqrta^2+b^2 ight |leqslant 1 Rightarrow left | c ight |leqslant sqrta^2+b^2 Rightarrow c^2leqslant a^2+b^2$

Suy ra được điều kiện để phương trình asinx +bcosx = c bao gồm nghiệm

Công thức quánh biệt:

• sin⁡x+cos⁡x=0

⇔x= –π4+kπ (k∈Z).

• sin⁡x–cos⁡x=0

⇔x=π4+kπ

Ví dụ: Hãy giải phương trình sau: (1+$sqrt3$)sinx + (1-$sqrt3$)cosx=2

Giải:

2. Phương trình bậc hai một số hàm lượng giác

Dạng 1: $asin^2x+bsinx+c$ (a≠0;a,b,c∈R)

Phương pháp giải:

Đặt:

t=sin⁡x, với điều kiện |t|≤1, kế tiếp đưa phương trình $asin^2x+bsinx+c$ về phương trình bậc nhì theo t.Giải phương trình tìm thấy t, chú ý kết hợp đk của t rồi tìm x.

Dạng 2: $acos^2x+bcosx+c$, (a≠0; a,b,c∈R).

Phương pháp giải: Đặt t=cos⁡x, đk |t|≤1

Đưa phương trình $acos^2x+bcosx+c$ về phương trình bậc hai theo t.Giải phương trình ra search t, để ý kết hợp đk của t rồi tìm kiếm x.

Dạng 3: $atan^2x+btanx+c$ (a≠0; a,b,c∈R).

Phương pháp giải: Điều kiện cos⁡x≠0

⇔x≠π2+kπ (k∈Z).

Đặt t=tan⁡x (t∈R), gửi phương trình $atan^2x+btanx+c$ về phương trình bậc hai theo t. Chú ý rằng khi tìm được nghiệm x bắt buộc thử lại vào đk xem bao gồm thoả mãn hay không.

Dạng 4: $acot^2x+bcotx+c$ (a≠0; a,b,c∈R).

Phương pháp giải: Điều kiện sin⁡x≠0 ⇔x≠kπ (k∈Z).

Đặt t=cot⁡x (t∈R), ta gửi phương trình $acot^2x+bcotx+c$về phương trình bậc nhì theo ẩn t

Giải ra t rồi tìm kiếm x, chú ý khi tìm kiếm được nghiệm đề nghị thử lại vào điều kiện xem tất cả thoả mãn tuyệt không.

Ví dụ: Hãy giải phương trình $2cos^2x-3cosx+1$

Giải:

Đăng ký kết ngay khóa đào tạo DUO 11để được các thầy cô ôn tập kỹ năng và kiến thức và xây đắp lộ trình ôn thi tốt nghiệp thpt môn Toán ngay từ bây giờ

3. Phương trình lượng giác thuần bậc hai đối với sinx với cosx

Phương trình thuần tốt nhất bậc hai với sin⁡x và cos⁡x là phương trình bao gồm dạng: $asin^2x+bsinx.cosx+ccos^2x=d$, trong những số ấy có: a,b,c,d cùng thuộc R.

Phương pháp giải:

Ta phân chia từng vế của phương trình cho một trong những ba $sin^2x$, $cos^2x$ hoặc sin⁡x.cos⁡x. Ví dụ nếu ta phân tách cho $cos^2x$ta làm theo các bước sau:

Cho: cos⁡x=0 ⇔x=2 + kπ (k∈Z) coi nó có phải là nghiệm của phương trình $asin^2x+bsinx.cosx+ccos^2x=d$không?

Với cos⁡x≠0, phân chia cả nhị vế mang lại $cos^2x$, bây giờ phương trình $asin^2x+bsinx.cosx+ccos^2x=d$ trở thành: $atan^2x+btanx+c=d(1+tan2x)$

⇔ $(a-d)tan^2x+btanx+c-d=0$.

Ta xét thấy, phương trình bao gồm dạng bậc hai theo tan.

Ví dụ: Hãy giải phương trình $2sqrt3cos^2x+6sinxcosx=3+sqrt3$

4. Phương trình đối xứng với sinx với cosx

Phương trình đối xứng cùng với sin⁡x cùng cos⁡x là phương trình dạng a(sin⁡x+cos⁡x)+bsin⁡xcos⁡x+c=0, với a,b,c ở trong R.

Phương pháp giải:

Do: $(sinx+cosx)^2$

= 1+2sin⁡x.cos⁡x phải ta đặt:

t=sin⁡x+cos⁡x= $sqrt2sin(x+fracpi 4) = 2cosz(fracpi 4-x)$

Điều khiếu nại |t|≤2.

Nên sin⁡x.cos⁡x = $fract^2-12$và phương trình a(sin⁡x+cos⁡x)+bsin⁡xcos⁡x+c=0 được viết lại là $bt^2+2at-(b+2c)=0$

Ví dụ: Giải pt sin⁡x+cos⁡x–2sin⁡x.cos⁡x+1=0

Giải:

Đăng ký kết ngay để được các thầy cô ôn tập kỹ năng và desgin lộ trình ôn thi Toán thpt sớm đạt 9+

5. Phương trình lượng giác dạng thuận nghịch

Ta bao gồm dạng phương trình thuận nghịch là:

$A(f^2(x)+frack^2f^2(x))+B(f(x)+frackf(x))+C=0$(1)

Hoặc $A(a^2tan^2x+b^2cot^2x)+B(atanx+bcotx)+C=0$ (2)

Giải:

Đối với (1): Đặt t=f(x) + $frackf(x)$

Đối với (2): Đặt t=a tanx + b cotx

Ví dụ: Giải phương trình $frac3cos^2x+3cot^2x+4(tanx+cotx)-1=0$

Giải:

6. Phương trình sang trọng bậc hai so với sinx với cosx

Phương trình phong cách bậc 2 so với sinx và cosx là phương trình bao gồm dạng:

$asin^2x+bsinx.cosx+ccos^2x=d$

Trong đó: x là 1 ẩn số

a,b,c,d là hệ số

Giải:

Trường thích hợp 1: a=d

Lúc này phương trình bao gồm dạng:

$asin^2x+bsinx.cosx+ccos^2x=a$

$Leftrightarrow asin^2x+bsinx.cosx+ccos^2=asin^2x+acos^2x$

$Leftrightarrow bsinx.cosx+(c-a)cos^2x=0$

$Leftrightarrow cosxleft < bsinx+(c-a)cosx ight >=0$

$Leftrightarrow cosx=0$ hoặc $< bsinx+(c-a)cosx ight >=0$

Trường phù hợp 2: $a eq d$

$Leftrightarrow asin^2x+bsinx.cosx+ccos^2x=dsin^2x+dcos^2x$

$Leftrightarrow (a-d)sin^2x+bsinxcosx+(c-d)cos^2x=0$

Có thể thấy cosx=0 không phải là nghiệm phương trình, ta chia cả 2 vế mang lại cos^2xta được:

$(a-d)tan^2x+btanx+c-d=0$

Ví dụ: Giải phương trình: $6sin^2x+14sinxcosx-4(1+cos2x)=6$

Giải:

PT $Leftrightarrow 3(1-cos2x)+7 sin2x-4(1+cos2x)=6$$Leftrightarrow 7sin2x-7cos2x=7$$Leftrightarrow sin2x-cos2x=1$$Leftrightarrow sin(2x-fracpi 4)=frac1sqrt2$$Leftrightarrow x=fracpi 4+kpi$ hoặc $x=fracpi 2+kpi$

Tham khảo ngay một vài dạng bài tập về lượng giác được các thầy cô VUIHOC tổng hợp

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải cùng biện luận những dạng phương trình lượng giác cơ bạn dạng trong chương trình Đại số và Giải tích 11.

Xem thêm: Các Ngày Lễ Lớn, Sự Kiện Quan Trọng Trong Năm 2024 Có Sự Kiện Gì

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢNBài toán 1: Giải và biện luận phương trình: $sin x = m.$PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Ta biện luận theo các bước sau:Bước 1: ví như $|m| > 1$ phương trình vô nghiệm.Bước 2: trường hợp $|m| le 1$, xét nhì khả năng:+ Khả năng 1: trường hợp $m$ được trình diễn qua $sin $ của góc quánh biệt, mang sử $alpha $, lúc ấy phương trình gồm dạng:$sin x = sin alpha $ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha + 2kpi \x = pi – alpha + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$+ Khả năng 2: giả dụ $m$ không biểu diễn được qua $sin $ của góc đặc biệt, lúc ấy đặt $m = sin alpha $, ta được:$sin x = sin alpha $ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha + 2kpi \x = pi – alpha + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Trong cả hai trường đúng theo ta đều kết luận phương trình tất cả hai chúng ta nghiệm.Đặc biệt:$sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi $, $k in Z.$$sin x = 1 Leftrightarrow x = fracpi 2 + 2kpi $, $k in Z.$$sin x = – 1 Leftrightarrow x = – fracpi 2 + 2kpi $, $k in Z.$

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:a. $sin x = frac13.$b. $sin left( 2x – fracpi 4 ight) + sin left( 3x + fracpi 3 ight) = 0.$

a. Đặt $frac13 = sin alpha $, lúc đó:$sin x = sin alpha $ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha + 2kpi \x = pi – alpha + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình bao gồm hai bọn họ nghiệm.b. Ta có: $sin left( 2x – fracpi 4 ight) + sin left( 3x + fracpi 3 ight) = 0$ $ Leftrightarrow sin left( 2x – fracpi 4 ight) = – sin left( 3x + fracpi 3 ight)$ $ Leftrightarrow sin left( 2x – fracpi 4 ight) = sin left( – 3x – fracpi 3 ight)$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x – fracpi 4 = – 3x – fracpi 3 + 2kpi \2x – fracpi 4 = pi – left( – 3x – fracpi 3 ight) + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – fracpi 60 + frac2kpi 5\x = – frac19pi 12 – 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình gồm hai bọn họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình: $sin (pi sin 2x) = 1.$

Ta có: $sin (pi sin 2x) = 1$ $ Leftrightarrow pi sin 2x = fracpi 2 + 2kpi $ $ Leftrightarrow sin 2x = frac12 + 2k$, $k in Z$ $(1).$Phương trình $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi:$left| frac12 + 2k ight| le 1$ $ Leftrightarrow – frac34 le k le frac14$ $ Leftrightarrow k = 0.$Khi đó $(1)$ gồm dạng:$sin 2x = frac12$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x = fracpi 6 + 2lpi \2x = frac5pi 6 + 2lpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 12 + lpi \x = frac5pi 12 + lpi endarray ight.$, $l in Z.$Vậy phương trình gồm hai chúng ta nghiệm.

Bài toán 2: Giải cùng biện luận phương trình: $cos x = m.$PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Ta biện luận theo quá trình sau:Bước 1: trường hợp $|m| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.Bước 2: trường hợp $|m| le 1$, xét nhị trường hợp:+ Khả năng 1: nếu $m$ được màn trình diễn qua $cos $ của góc đặc biệt, mang sử $alpha $, lúc đó phương trình bao gồm dạng:$cos x = cos alpha $ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha + 2kpi \x = – alpha + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$+ Khả năng 2: trường hợp $m$ không trình diễn được qua $cos $ của góc quánh biệt, lúc đó đặt $m = cos alpha $, ta được:$cos x = cos alpha $ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx = alpha + 2kpi \x = – alpha + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Trong cả nhì trường hòa hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm.Đặc biệt:$cos x = 0 Leftrightarrow x = fracpi 2 + kpi $, $k in Z.$$cos x = 1 Leftrightarrow x = 2kpi $, $k in Z.$$cos x = – 1 Leftrightarrow x = pi + 2kpi $, $k in Z.$

Ví dụ 3: Giải những phương trình sau:a. $sin 3x = cos 2x.$b. $cos left( 2x – fracpi 4 ight) + sin left( x + fracpi 4 ight) = 0.$

a. Ta có:$sin 3x = cos 2x$ $ Leftrightarrow sin 3x = sin left( fracpi 2 – 2x ight)$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l3x = fracpi 2 – 2x + 2kpi \3x = pi – left( fracpi 2 – 2x ight) + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 10 + frac2kpi 5\x = fracpi 2 + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình gồm hai họ nghiệm.b. Ta có:$cos left( 2x – fracpi 4 ight) + sin left( x + fracpi 4 ight) = 0$ $ Leftrightarrow cos left( 2x – fracpi 4 ight) = – sin left( x + fracpi 4 ight)$ $ Leftrightarrow cos left( 2x – fracpi 4 ight) = cos left( x + fracpi 4 + fracpi 2 ight)$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x – fracpi 4 = x + frac3pi 4 + 2kpi \2x – fracpi 4 = – x – frac3pi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = pi + 2kpi \x = – fracpi 6 + frac2kpi 3endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình tất cả hai họ nghiệm.

Ví dụ 4: Giải phương trình: $cos left< fracpi 2cos left( x – fracpi 4 ight) ight> = fracsqrt 2 2.$

Phương trình tương đương với:$left< eginarray*20lfracpi 2cos left( x – fracpi 4 ight) = fracpi 4 + 2kpi \fracpi 2cos left( x – fracpi 4 ight) = – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lcos left( x – fracpi 4 ight) = frac12 + 4k:left( 1 ight)\cos left( x – fracpi 4 ight) = – frac12 + 4k:left( 2 ight)endarray ight.$, $k in Z.$|Phương trình $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi:$left| frac12 + 4k ight| le 1$ $ Leftrightarrow – frac38 le k le frac18$ $ Leftrightarrow k = 0.$Khi đó $(1)$ bao gồm dạng:$cos left( x – fracpi 4 ight) = frac12$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx – fracpi 4 = fracpi 3 + 2lpi \x – fracpi 4 = – fracpi 3 + 2lpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = frac7pi 12 + 2lpi \x = – fracpi 12 + 2lpi endarray ight.$, $l in Z$ $(3).$Phương trình $(2)$ tất cả nghiệm khi và chỉ còn khi:$left| – frac12 + 4k ight| le 1$ $ Leftrightarrow – frac18 le k le frac38$ $ Leftrightarrow k = 0.$Khi kia $(2)$ bao gồm dạng:$cos left( x – fracpi 4 ight) = – frac12$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx – fracpi 4 = frac2pi 3 + 2lpi \x – fracpi 4 = – frac2pi 3 + 2lpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = frac11pi 12 + 2lpi \x = – frac5pi 12 + 2lpi endarray ight.$, $l in Z$ $(4).$Kết phù hợp $(3)$ cùng $(4)$, ta được:$left< eginarray*20lx = frac11pi 12 + lpi \x = frac7pi 12 + lpi endarray ight.$, $l in Z.$Vậy phương trình bao gồm hai bọn họ nghiệm.

Bài toán 3: Giải với biện luận phương trình: $ an x = m.$PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Ta biện luận theo các bước sau:Đặt điều kiện:$cos x e 0 Leftrightarrow x e fracpi 2 + kpi $, $k in Z.$Xét hai khả năng:+ Khả năng 1: ví như $m$ được trình diễn qua $ an $ của góc đặc biệt, giả sử $alpha $, khi đó phương trình có dạng:$ an x = an alpha $ $ Leftrightarrow x = alpha + kpi $, $k in Z.$+ Khả năng 2: nếu $m$ không màn biểu diễn được qua $ an $ của góc sệt biệt, khi đó đặt $m = an alpha $, ta được:$ an x = an alpha $ $ Leftrightarrow x = alpha + kpi $, $k in Z.$Trong cả hai trường thích hợp ta đều tóm lại phương trình có một họ nghiệm.Nhận xét: Như vậy với đa số giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm.

Ví dụ 5: Giải phương trình: $ an left< fracpi 4(cos x + sin x) ight> = 1.$

Điều kiện: $cos left< fracpi 4(cos x + sin x) ight> e 0$ $(*).$Phương trình tương tự với:$fracpi 4(cos x + sin x) = fracpi 4 + kpi $ $ Leftrightarrow cos x + sin x = 1 + 4k$, $k in Z$ $(1).$Phương trình $(1)$ tất cả nghiệm khi và chỉ khi:$left| 1 + 4k ight| le sqrt 2 $ $ Leftrightarrow – fracsqrt 2 + 14 le k le fracsqrt 2 – 14$ $ Leftrightarrow k = 0.$Khi đó $(1)$ có dạng:$cos x + sin x = 1$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 4 ight) = 1$ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 4 ight) = fracsqrt 2 2$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx + fracpi 4 = fracpi 4 + 2lpi \x + fracpi 4 = frac3pi 4 + 2lpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2lpi \x = fracpi 2 + 2lpi endarray ight.$, $l in Z$ đống ý $(*).$Vậy phương trình gồm hai họ nghiệm.

Bài toán 4: Giải cùng biện luận phương trình: $cot x = m.$PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Ta biện luận theo công việc sau:Đặt điều kiện:$sin x e 0 Leftrightarrow x e kpi $, $k in Z.$Xét nhì khả năng:+ Khả năng 1: nếu $m$ được trình diễn qua $cot $ của góc quánh biệt, đưa sử $alpha $, khi đó phương trình tất cả dạng:$cot x = cot alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi $, $k in Z.$+ Khả năng 2: nếu như $m$ không biểu diễn được qua $cot $ của góc đặc biệt, lúc ấy đặt $m = cot alpha $, ta được:$cot x = cot alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi $, $k in Z.$Trong cả hai trường hòa hợp ta đều kết luận phương trình có một chúng ta nghiệm.Nhận xét: Như vậy với đa số giá trị của tham số phương trình luôn luôn có nghiệm.

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:a. $cot left( fracpi 4 – x ight) = frac1sqrt 3 .$b. $cos x = sqrt 3 sin x.$

a. Điều kiện:$sin left( fracpi 4 – x ight) e 0$ $ Leftrightarrow fracpi 4 – x e kpi $ $ Leftrightarrow x e fracpi 4 – kpi $, $k in Z$ $(*).$Ta có:$cot left( fracpi 4 – x ight) = cot fracpi 3$ $ Leftrightarrow fracpi 4 – x = fracpi 3 + kpi $ $ Leftrightarrow x = – fracpi 12 – kpi $, $k in Z$ thoả mãn đk $(*).$Vậy phương trình tất cả một họ nghiệm.b. Ta có:$cos x = sqrt 3 sin x$ $ Leftrightarrow cot x = sqrt 3 = cot fracpi 6$ $ Leftrightarrow x = fracpi 6 + kpi $, $k in Z.$Vậy phương trình tất cả một chúng ta nghiệm.

việc 5: Biện luận theo $m$ số nghiệm ở trong $(alpha ,eta )$ của phương trình lượng giác cơ bản. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: trả sử cùng với phương trình: $sin x = m.$Ta lựa lựa chọn một trong hai biện pháp sau:Cách 1: tiến hành theo công việc sau:+ Bước 1: màn biểu diễn $(alpha ,eta )$ trên tuyến đường tròn đơn vị thành cung $widehat AB.$+ Bước 2: Tịnh tiến mặt đường thẳng $m$ tuy nhiên song cùng với trục cosin, khi ấy số giao điểm của nó với cung $widehat AB$ thông qua số nghiệm thuộc $(alpha ,eta )$ của phương trình.

*

Cách 2: tiến hành theo công việc sau:+ Bước 1: Vẽ đồ vật thị hàm số $y = sin x$, mang trên $(alpha ,eta ).$+ Bước 2: Tịnh tiến con đường thẳng $y = m$ tuy nhiên song cùng với trục $Ox$, khi ấy số giao điểm của chính nó với phần đồ dùng thị hàm số $y = sin x$ bằng số nghiệm thuộc $(alpha ,eta )$ của phương trình.Chú ý: phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho:1. Phương trình $cos x = m$, với chú ý khi sử dụng cách 1 ta tịnh tiến đường thẳng $m$ song song với trục sin.2. Với những phương trình $ an x = m$ cùng $cot x = m$ ta chỉ có thể sử dụng giải pháp 2.

Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ số nghiệm trực thuộc $left( fracpi 6,frac8pi 3 ight)$ của phương trình $sin x = m.$

Ta lựa lựa chọn 1 trong hai giải pháp biểu diễn:

*

Kết luận: đặt $D = left( fracpi 6,frac8pi 3 ight)$, ta có:+ với $|m| > 1$, phương trình vô nghiệm.+ cùng với $m =-1$, phương trình có một nghiệm thuộc $D.$+ với $ – 1 + với $frac12 le m + cùng với $fracsqrt 3 2 le m Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ số nghiệm ở trong $left( – frac5pi 4,pi ight)$ của phương trình: $(m + 1)sin x = (m – 1)cos x$ $(1).$

Biến thay đổi phương trình về dạng:$sin x + cos x = m(cos x – sin x)$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 4 ight) = msqrt 2 cos left( x + fracpi 4 ight)$ $ Leftrightarrow an left( x + fracpi 4 ight) = m.$

*

Ta tất cả kết luận:+ cùng với $m ge 1$ hoặc $m le 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc $D.$+ cùng với $0 II. CÁC BÀI TOÁN THIBài 1: (ĐHSP II – 2000): Tìm những nghiệm nguyên của phương trình:$cos left< fracpi 8left( 3x – sqrt 9x^2 + 160x + 800 ight) ight> = 1.$

Biến đổi tương đương phương trình về dạng:$fracpi 8left( 3x – sqrt 9x^2 + 160x + 800 ight) = 2kpi $ $ Leftrightarrow sqrt 9x^2 + 160x + 800 = 3x – 16k$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l3x – 16k ge 0\9x^2 + 160x + 800 = (3x – 16k)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx ge frac16k3,k in Z\(3k + 5)x = 8k^2 – 25endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lfrac8k^2 – 253k + 5 ge frac16k3,k in Z\x = frac8k^2 – 253k + 5endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ {eginarray*20lk 9x = 24k – 40 – frac253k + 5:left( 2 ight)endarray ight..$Muốn $x$ nguyên thì trước nhất từ $(2)$ ta đề xuất có:$frac253k + 5 in Z$ $ Leftrightarrow 3k + 5$ là ước của $25$ $mathop Leftrightarrow limits^left( 1 ight) left< eginarray*20l3k + 5 = – 1\3k + 5 = – 5\3k + 5 = – 25endarray ight.$ $mathop Leftrightarrow limits^k in Z left< eginarray*20lk = – 2\k = – 10endarray ight..$+ với $k = – 2$, ta được $x= – 7.$+ cùng với $k = -10$, ta được $x = -31.$Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên $x = -7$ cùng $x = – 31.$

bài xích 2: (Đại học tập tổng phù hợp Lômônốp – 1982): Giải phương trình:$sqrt – x^8 + 3x^4 – 2 .sin left< pi left( 16x^2 + 2x ight> = 0 ight..$

Biến đổi tương tự phương trình về dạng:$left< {eginarray*20l – x^8 + 3x^4 – 2 = 0:left( 1 ight)\left eginarray*20l – x^8 + 3x^4 – 2 > 0:left( 2 ight)\sin left< pi left( 16x^2 + 2x ight) ight> = 0:left( 3 ight)endarray ight.endarray ight.$Giải $(1)$ bằng phương pháp đặt $t = x^4$, điều kiện $t ge 0$, ta được:$(1) Leftrightarrow t^2 – 3t + 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lt = 1\t = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx^4 = 1\x^4 = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = pm 1\x = pm sqrt<4>2endarray ight..$Giải $(2)$, phụ thuộc vào lời giải của $(1)$ ta được:$(2) Leftrightarrow 1 { – sqrt<4>2 1 endarray ight..$Giải $(3)$, ta có:$(3) Leftrightarrow pi left( 16x^2 + 2x ight) = kpi $ $ Leftrightarrow 16x^2 + 2x – k = 0$ $(4).$Phương trình $(4)$ tất cả nghiệm khi:$Delta’ ge 0$ $ Leftrightarrow 1 + 16k ge 0$ $ Leftrightarrow k ge – frac116$ $mathop Leftrightarrow limits^k in Z k ge 0.$Khi kia $(4)$ có nghiệm: $x_1,2 = frac – 1 pm sqrt 1 + 16k 16.$Để nghiệm $x_1 = frac – 1 + sqrt 1 + 16k 16$ $( ge 0)$ thoả mãn $(2)$ điều kiện là:$1 Để nghiệm $x_2 = frac – 1 – sqrt 1 + 16k 16$ $($ – sqrt<4>2 Vậy phương trình có những nghiệm:$x = left pm 1, pm sqrt<4>2 ight$ $ cup left x = frac – 1 + sqrt 1 + 16k 16 ight$ $ cup left k = overline 15,20 ight.$

Bài 3: Giải và biện luận phương trình: $fraca^21 – an ^2x = fracsin ^2x + a^2 – 2cos 2x.$

Điều kiện:$left{ eginarray*20lcos x e 0\1 – an ^2x e 0\cos 2x e 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lcos x e 0\1 – an ^2x e 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lcos x e 0\ an x e pm 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx e fracpi 2 + kpi \x e pm fracpi 4 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Biến thay đổi phương trình về dạng:$fraca^21 – an ^2x = fracsin ^2x + a^2 – 2cos ^2x – sin ^2x$ $ Leftrightarrow fraca^21 – an ^2x = frac an ^2x + left( a^2 – 2 ight)left( 1 + an ^2x ight)1 – an ^2x$ $ Leftrightarrow left( a^2 – 1 ight) an ^2x = 2$ $(1).$Với $a^2 – 1 = 0 Leftrightarrow a = pm 1$, khi đó $(1)$ vô nghiệm.Với $a^2 – 1 e 0 Leftrightarrow a e pm 1$, khi đó $(1)$ có dạng:$ an ^2x = frac2a^2 – 1$ $(2).$Để $(2)$ tất cả nghiệm cùng thoả mãn đk ta phải có:$left{ eginarray*20lfrac2a^2 – 1 ge 0\frac2a^2 – 1 e 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l\a e pm sqrt 3 endarray ight..$Khi đó: $(2) Leftrightarrow an x = pm an alpha $ $ Leftrightarrow x = pm alpha + kpi $, $k in Z.$Kết luận:+ với $|a| le 1$ hoặc $a = pm sqrt 3 $, phương trình vô nghiệm.+ với $a in ( – infty , – 1) cup (1, + infty )ackslash left pm sqrt 3 ight$, phương trình có hai bọn họ nghiệm.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊBài tập 1: Giải những phương trình sau:a. $sin (pi cos 2x) = 1.$b. $cos (pi cos 3x) = 1.$

Bài tập 2: Giải những phương trình sau:a. $cos (pi sin x) = 1.$b. $sin fracpi x = cos (pi x).$c. $cos left< fracpi 2cos left( x – fracpi 4 ight) ight> = frac12.$

Bài tập 3: Giải những phương trình sau:a. $ an left< fracpi 4(cos x – sin x) ight> = 1.$b. $cot left< fracpi 4(cos x + sin x) ight> = 1.$

Bài tập 4: Giải với biện luận các phương trình sau:a. $cos (x + alpha ) + cos (x – alpha ) = 2cos alpha .$b. $sin (x + alpha ) + cos (x – alpha ) = 1 + sin alpha .$c. $(m + 1)sin 2x + 1 – m^2 = 0.$d. $(m + 2) an 2x – sqrt m = 0.$

Bài tập 5: Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình:a. $sin x = m$ với $x in left( – fracpi 4,frac4pi 3 ight>.$b. $sin left( 2x – fracpi 4 ight) = m$ cùng với $x in left< – fracpi 24,frac19pi 8 ight>.$c. $cos left( x – fracpi 3 ight) = m$ cùng với $x in left< frac5pi 6,frac13pi 6 ight>.$d. $cot left( x – fracpi 4 ight) = m$ với $x in left( – frac5pi 4,pi ight).$

Bạn cũng có thểThích